Teil 2, Stochastik I

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Die Aufgabenstellungen zum Ausdrucken findest du hier als PDF.

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic" (B) und "Highspeed" (H) wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen ( $R$ ) oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen $(\bar{R})$ . Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren (S), einen Techniker hiermit beauftragen ( $T$ ) oder sogar einen Komplettservice (K) wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.
Erfahrungsgemäß nehmen $60 \%$ der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der Tarifwahl entscheiden sich $80 \%$ der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed"-Tarif und Router möchten $40 \%$ den Komplettservice.
Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
  [ Teilergebnis: $\mathrm{P}(\{(\mathrm{H} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K})\})=0{,}128$ ]
  (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Baum anlegen
  Lies den Text aufmerksam durch und schaue dir die Beispielergebnisse in dieser und der nächsten Teilaufgabe an, um herauszufinden, welche Kombinationen es gibt:
  Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ergänzen
  Ergänzt du alle Wahrscheinlichkeiten, die im Text gegeben sind, sieht das Baumdiagramm so aus:
  Die fehlenden Wahrscheinlichkeiten kannst du sofort ausrechnen: Alle Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ergeben in Summe 1 (Im Baum blau markiert).
  Die Wahrscheinlichkeiten der 8 Elementarereignisse (grün markiert) berechnest du dann mithilfe der 1. Pfadregel:
  Beispielrechnung:
  $P({(B;R;S)})=0{,}6\cdot0{,}8\cdot0{,}5=0{,}24$
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  Entnehme dem Text und den Beispielergebnissen aus dieser und der nächsten Teilaufgabe die Struktur des Baumes
  Lese aus dem Text die gegebenen Wahrscheinlichkeiten heraus
  Verwende die Eigenschaften eines Baumdiagramms und die Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse zu bestimmen
2. Gegeben sind folgende Ereignisse:
  $\mathrm{E}_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“
  $\mathrm{E}_{2}=\{(\mathrm{B} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K}) ;(\mathrm{B} ; \overline{\mathrm{R}}) ;(\mathrm{H} ; \mathrm{R} ; \mathrm{K}) ;(\mathrm{H} ; \overline{\mathrm{R}})\}$
  $\mathrm{E}_{3}=\mathrm{E}_{1} \cap \mathrm{E}_{2}$
  Geben Sie $E_{1}$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_{3}$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right)$ .
  (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mengenlehre
  $E_1$ in Mengenschreibweise
  Liste alle Ereignisse auf, die der Beschreibung genügen. "Kein Komplettservice" übersetzt sich dabei zu "entweder Selbstinstallation oder Techniker":
  $E_1=\{(B;R;S);(B;R;T);(B;\overline R);(H;R;S);(H;R;T);(H;\overline R)\}$
  $E_3$ als Mengenschreibweise und in Worten
  Die Schnittmenge umfasst alle Elemente, die sowohl in $E_1$ als auch in $E_2$ enthalten sind:
  $E_3=\{(B;\overline R);(H;\overline{R})\}$
  Das sind genau die beiden Elementarereignisse, bei denen der Kunde keinen Router bestellt.
  Wahrscheinlichkeit von $E_3$
  Addiere die beiden Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm:
  $P(E_3)=P(\{(B;\overline R)\})+P(\{(H;\overline R)\})=0{,}12+0{,}08=0{,}2$
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  Für die Mengenschreibweise: Wähle aus dem Baum alle Elementarereignisse aus, die der Beschreibung von $E_1$ genügen und gib sie in der Form wie $E_2$ an.
  Für die Formulierung von $E_3:$ Bilde zuerst die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ in Mengenschreibweise und überlege anschließend, wie du sie beschreiben kannst.
  Für die Wahrscheinlichkeit: Verwende die 2. Pfadregel, um alle Wahrscheinlichkeiten der gesuchten Elementarereignisse aus dem letzten Schritt zu verrechnen.
3. Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router ( $R$ ) oder anderweitig organisierter Router). Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei $60 \%$ aller Kunden ohne Unterbrechungen (Ū) funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.
  Es gilt weiterhin $\mathrm{P}(\mathrm{R})=0{,}8$ .
  Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten $P_{R}(U)$ und $P_{\bar{R}}(U)$ , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten $P_{R}(U)$ und $P_{\bar{R}}(U)$ miteinander vergleichen.
  (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
  Vierfeldertafel
  Lege eine Vierfeldertafel an. Die Werte, die du in der Angabe finden kannst, sind blau markiert:
  $U$
  $\overline U$
  $R$
  0,3
  0,5
  0,8
  $\overline R$
  0,1
  0,1
  0,2
  0,4
  0,6
  1
  Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
  Bestimme die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
  Du kannst die nötigen Zahlen direkt aus der Vierfeldertafel entnehmen:
  $P_R(U)=\frac{P(R\cap U)}{P(R)}=\frac{0{,}3}{0{,}8}=0{,}375$
  und
  $P_{\overline R}(U)=\frac{P(\overline R \cap U)}{P(\overline R)}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$
  Interpretation im Sachkontext
  $P_R(U)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen Router der Firma hat.
  Analog beschreibt $P_{\overline R}(U)$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Unterbrechung auftritt, wenn bekannt ist, dass die Person einen eigenen Router nutzt.
  Aufgrund der vorhandenen Daten kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für Störungen bei Verwendung eines Routers des Internetanbieters geringer ist.
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  Lege wie empfohlen eine Vierfeldertafel mit den Merkmalen Router der Firma (R) und Unterbrechung der Verbindung (U) an. Du findest drei Wahrscheinlichkeiten im Text
  Suche die richtigen Werte aus der Vierfeldertafel, um die bedingten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel zu berechnen
  Überlege zunächst, wofür die Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext stehen und interpretiere dann, was es bedeutet, wenn der eine Wert größer als der andere ist.

	$U$	$\overline U$
$R$	0,3	0,5	0,8
$\overline R$	0,1	0,1	0,2
	0,4	0,6	1

In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:

Haushalte mit DSL 2000	Haushalte mit DSL 6000	Haushalte mit DSL 1600	Haushalte mit DSL 50000
17,3%	17,9%	19,8%	15%

Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden 25 Haushalte der Region zufällig ausgewählt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$\mathrm{E}_{4}$ : „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“

$E_{5}$ : „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 50000-Anschluss.“

$E_{6}$ : „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSLInternetanschluss.“

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Bei allen Ereignissen werden 25 Kunden befragt und somit ist $n=25$ die Länge der Bernoulli-Kette

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit für DSL 2000: $p=0{,}173$

Anzahl der Treffer: genau 3

Verwende die Bernoulli-Formel:

$P(E_4)=B(25;0{,}173;3)=\binom{25}3\cdot(0{,}173)^3\cdot(1-0{,}173)^{25-3}\approx0{,}18238$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit für DSL 5000: $p=0{,}15$

(Diese Wahrscheinlichkeit gibt es im Tafelwerk!)

Anzahl der Treffer: mindestens 6 aber weniger als 10

Es handelt sich also um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit:

Im Tafelwerk und auch in den meisten Rechnern können nur Wahrscheinlichkeiten der Form "höchstens k Treffer" nachgeschaut werden.

	$\displaystyle P\left(6\le k<10\right)$
	↓ Ersetze "weniger als 10" durch "höchstens 9"
$=$	$\displaystyle P\left(6\le k\le9\right)$
	↓ Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann als Differenz ausgedrückt werden. Da $k=6$ aber in der kumulierten Wahrscheinlichkeit enthalten ist, muss alles bis zur 5 abgezogen werden
$=$	$\displaystyle P\left(k\le9\right)-P\left(k\le5\right)$
$=$	$\displaystyle F\left(25;0{,}15;9\right)-F\left(25;0{,}15;5\right)$
$≈$	$\displaystyle 0{,}15938$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$

Wahrscheinlichkeit für DSL: $p=0{,}173+0{,}179+0{,}198+0{,}15=0{,}7$

(Diese Wahrscheinlichkeit steht im Tafelwerk)

Anzahl der Treffer: weniger als die Hälfte von 25, also $k<12{,}5$

Das ist gleichbedeutend mit höchstens 12 Treffer, also $k\leq12$

Das ist erneut eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die du direkt nachschauen kannst:

$F(25;0{,}7;12)\approx0{,}01747$

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3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für ein Glücksspiel wird eine gezinkte Münze verwendet, bei der „Kopf“ mit der Wahrscheinlichkeit $40 \%$ fällt. Man zahlt $4 €$ Einsatz und wirft dreimal die Münze. Fällt dreimal Kopf, werden $20 €$ ausbezahlt. Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl auftreten, erhält man $10 €$ . Sonst erfolgt keine Auszahlung.
Prüfen Sie, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße
Sei X die Zufallsgröße, die den Auszahlungsbetrag in Euro beschreibt.
Wahrscheinlichkeiten für die Auszahlungsbeträge
Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf geworfen wird, beträgt bei der gezinkten Münze:
$P(X=20)=0{,}4^3=0{,}064$
Es gibt zwei Möglichkeiten, abwechselnde Symbole zu werfen:
Zahl-Kopf-Zahl: $0{,}4^2\cdot0{,}6$
Kopf-Zahl-Kopf: $0{,}6^2\cdot0{,}4$
Addiere diese:
$P(X=10)=0{,}4^2\cdot 0{,}6+0{,}6^2\cdot 0{,}4=0{,}24$
In allen übrigen Fällen gibt es keine Auszahlung. Das passiert mit einer Wahrscheinlichkeit von $78{,}6\%$ , denn:
$1-0{,}064-0{,}14=0{,}786$
Erwartungswert berechnen
Bestimme den Erwartungswert, indem du Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge verrechnest:
$E(X)=0\cdot0{,}786+10\cdot0{,}25+20\cdot0{,}064=3{,}68$
Der Auszahlungsbetrag ist mit $3{,}68 €$ geringer als der Einsatz von $4€$ .
Das Spiel ist für den Spieler also nicht fair.
Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeiten für 20€ Auszahlung und 10€ Auszahlung. Beachte, dass es mehrere Möglichkeiten geben kann.
Ermittle daraus die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es keine Auszahlung gibt.
Ermittle dann den Erwartungswert und vergleiche ihn mit dem Einsatz.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2, Stochastik I

Baum anlegen

Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ergänzen

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E1E_1E1​ in Mengenschreibweise

E3E_3E3​ als Mengenschreibweise und in Worten

Wahrscheinlichkeit von E3E_3E3​

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Vierfeldertafel

Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Interpretation im Sachkontext

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Wahrscheinlichkeit von E4E_4E4​

Wahrscheinlichkeit von E5E_5E5​

Wahrscheinlichkeit von E6E_6E6​

Wahrscheinlichkeiten für die Auszahlungsbeträge

Erwartungswert berechnen

$E_1$ in Mengenschreibweise

$E_3$ als Mengenschreibweise und in Worten

Wahrscheinlichkeit von $E_3$

Wahrscheinlichkeit von $E_4$

Wahrscheinlichkeit von $E_5$

Wahrscheinlichkeit von $E_6$