Teil 1 Lineare Algebra

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Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{2}$ ist je ein Repräsentant der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gegeben.
1. Der Winkel $α$ zwischen den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kann mit der Gleichung
  $\cos (α) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$ berechnet werden. In einer der drei nachfolgenden Gleichungen ist der Term $\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$ richtig berechnet. Entscheiden Sie begründet, welche der untenstehenden Gleichungen die richtige ist.
  $\cos (α) = \frac{12}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{18}}$
  $\cos (α) = \frac{14}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}}$
  $\cos (α) = \frac{14}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Entscheide begründet, welche der Gleichungen die richtige ist
  $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \end{array}) \Rightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = (- 2) \cdot (- 1) + (- 3) \cdot (- 4) = 2 + 12 = 14$
  $| \vec{a} | = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ und $| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + 4^{2}} = \sqrt{17}$
  Deshalb kann nur die zweite Formel korrekt sein.
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  Gib die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und ihre Beträge an.
  Überprüfe dann die angegebenen Gleichungen.
2. Zeichnen Sie einen Repräsentanten des Vektors $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  Zeichne einen Repräsentanten des Vektors $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein
  Es ist $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array})$
  Vektor $\vec{c}$
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  Berechne den Vektor $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ (mit den Vektoren aus Aufgabe a) und zeichne diesen Vektor in das Koordinatensystem ein.
3. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare (Un)abhängigkeit
  Zeige rechnerisch, dass die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig sind
  Zu zeigen ist, dass die beiden Vektoren nicht kollinear (parallel) sind.
  $\vec{a} = k \cdot \vec{b} \Rightarrow$ $(\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 4 \end{array})$
  Aus Gleichung $(I)$ folgt: $k = 2$
  Aus Gleichung $(I I)$ folgt: $k = \frac{3}{4}$
  $\Rightarrow \vec{a} ∦ \vec{b}$ $\Rightarrow$ Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear unabhängig.
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  Zeige $\vec{a} ∦ \vec{b}$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die drei Punkte $A (2 | 0 | 0)$ , $B (5 | 0 | 0)$ und $C (4 | 1 | - 1)$ gegeben.
1. Zeigen Sie, dass der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $A B C$ ein rechter Winkel ist.
  (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Zeige, dass der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $A B C$ ein rechter Winkel ist
  $\vec{C A} = \vec{O A} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{C B} = \vec{O B} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Berechne das Skalarprodukt $\vec{C A} \circ \vec{C B}$ . Bei einem rechten Winkel muss dieses Skalarprodukt gleich null sein.
  $\vec{C A} \circ \vec{C B} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = (- 2) \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 = - 2 + 1 + 1 = 0$
  $\Rightarrow$ Der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $A B C$ ist ein rechter Winkel.
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  Berechne das Skalarprodukt $\vec{C A} \circ \vec{C B}$ .
  Bei einem rechten Winkel muss dieses Skalarprodukt gleich null sein.
2. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$
  Aus Aufgabe a): $\vec{C A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{C B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ .
  $A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{C A} | \cdot | \vec{C B} | = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}$
  Die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$ beträgt $\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} FE$ .
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  Berechne $A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{C A} | \cdot | \vec{C B} |$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Lineare Algebra

Entscheide begründet, welche der Gleichungen die richtige ist

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Zeichne einen Repräsentanten des Vektors c→=b→−a→ in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein

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Zeige rechnerisch, dass die Vektoren a→ und b→ linear unabhängig sind

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Zeige, dass der Winkel an der Ecke C im Dreieck ABC ein rechter Winkel ist

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Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks ABC

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Zeichne einen Repräsentanten des Vektors $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$ in das Koordinatensystem der Aufgabenstellung ein

Zeige rechnerisch, dass die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ linear unabhängig sind

Zeige, dass der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $A B C$ ein rechter Winkel ist

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $A B C$