Zeige, dass der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $ABC$ ein rechter Winkel ist

$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Berechne das Skalarprodukt $\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}$. Bei einem rechten Winkel muss dieses Skalarprodukt gleich null sein.

$\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=(-2)\cdot 1+(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1=-2+1+1=0$

$\Rightarrow$ Der Winkel an der Ecke $C$ im Dreieck $ABC$ ist ein rechter Winkel.

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $ABC$

Aus Aufgabe a): $\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

$A_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{3}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \sqrt{2}$

Die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks $ABC$ beträgt ${\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot \sqrt{2}\mathrm{FE}$.