Teil 2 Analysis 2

Bestimmen Sie $D_{f}D\_f$ sowie die Nullstellen von $ff$ und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von $ff$ an.

$G_{f}G\_f$ besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte $H_{1}H\_1$ und $T_{1}T\_1$ ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu $H_1(\mathrm{3,26}\mathrm{\mid }-\mathrm{4,74})H\_1\; (3\{,\}26|\; -\; 4\{,\}74)$ bzw. $T_1(\mathrm{0,61}\mathrm{\mid }-\mathrm{0,11})T\_1\; (0\{,\}61|\; -\; 0\{,\}11)$. Zeigen Sie rechnerisch, dass $G_{f}G\_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte $H_{2}H\_2$ und $T_{2}T\_2$ an.

Ermitteln Sie für jede Asymptote von $G_{f}G\_f$ ihre Art und ihre Gleichung.

$G_{f}G\_f$ schneidet die x-Achse für $x>0x\; >\; 0$ im Punkt $NN$ (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_{f}G\_f$ im Punkt $NN$.

[Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-4x^4+11x^2-4}{(4-x^2{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-4x^4+11x^2-4\}\{(4-x^2)^2\}$ ]

Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion $ff$:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6(x^3+12x)}{(4-x^2{)}^3}}f\text{'}\text{'}(x)=\; \backslash dfrac\{6(x^3+12x)\}\{(4-x^2)^3\}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{18(x^4+24x^2+16)}{(4-x^2{)}^4}}f\text{'}\text{'}\text{'}(x)=\backslash dfrac\{18(x^4+24x^2+16)\}\{(4-x^2)^4\}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{72(x^5+40x^3+80x)}{(4-x^2{)}^5}}f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}(x)=\backslash dfrac\{72(x^5+40x^3+80x)\}\{(4-x^2)^5\}$

(Nachweis nicht erforderlich!)

Es gilt: $D_f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=D_f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=D_f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}D\_f\text{'}\text{'}=D\_f\text{'}\text{'}\text{'}=D\_f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}$

Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}$ auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}$ ein.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{\square }\cdot (x^{\mathrm{\square }}+60x^{\mathrm{\square }}+240x^{\mathrm{\square }}+64}{(4-x^2{)}^{\mathrm{\square }}}}f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}(x)=\backslash dfrac\{\backslash square\; \backslash cdot\; (x^\{\backslash square\}+60x^\{\backslash square\}+240x^\{\backslash square\}+64\}\{(4-x^2)^\{\backslash square\}\}$

Die Funktion $kk$ ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton abnehmend. Bestimmen Sie den Wert des Parameters $aa$, wenn die Berglandschaft an ihrem höchsten Punkt $99$ cm hoch sein soll.

Für die folgenden Teilaufgaben gilt: $k(x)=9\cdot (x^2+1)\cdot e^{-x}k(x)=9\backslash cdot\; (x^2+1)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

An der Berglandschaft sollen Bäumchen befestigt werden. Damit diese aufrecht stehen, müssen sie an einer Stelle mit waagrechter Tangente angebracht werden. Berechnen Sie dazu die Koordinaten des Punktes auf der Konturlinie, der diese Bedingung erfüllt

Zeigen Sie, dass die Funktion $KK$ mit $K(x)=-9\cdot (x^2+2x+3)\cdot e^{-x}K(x)=-9\backslash cdot\; (x^2+2x+3)\backslash cdot\; e^\{-x\}$ mit $D_k=[0;10]D\_k=[0;10]$ eine Stammfunktion von $kk$ ist.

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $I=20\cdot {\int }_0^{10}k(x)\mathrm{d}I=20\backslash cdot\; \backslash int\_\{0\}^\{10\}\; \backslash \; k(x)\; \backslash mathrm\{d\}$x

und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

[ Teilergebnis: $I\approx \mathrm{539,00}I\; \backslash approx\; 539\{,\}00$ ]

Zur Herstellung der Berglandschaft wird Kunstharz zu einem Preis von $\mathrm{59,90}59\{,\}90$ € für $1000c{m}^{3}1000cm^3$ benötigt. Ermitteln Sie den Materialpreis für eine Berglandschaft gleicher Form, die nicht $20cm20cm$ sondern ein Meter lang ist. Verluste an Kunstharz durch den Herstellungsprozess sollen dabei nicht berücksichtigt werden.

Nun wird zusätzlich die Funktion $hh$ mit $h(x)=ln(-x^2+4x)+2h(x)=ln(-x^2+4x)+2$ in dem maximalen Definitionsbereich $D_h=]0;4[D\_h=]0;4[$ betrachtet. Der Teil des Graphen $G_{h}G\_h$ der Funktion $hh$, der über der x-Achse liegt, beschreibt die Begrenzungslinie eines Tunnels (siehe Aufgabenstellung), der nach der Herstellung durch den 3D-Drucker in die Berglandschaft gefräst werden soll.

1) Für die Kalibrierung der Fräse werden die Schnittpunkte von $G_{h}G\_h$ mit der x-Achse benötigt. Ermitteln Sie die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte.

2) Der Punkt $HH$ (siehe Aufgabenstellung) ist der höchste Punkt des Tunnels (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $H\mathrm{.}H.$