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Teil 2 Analysis 2

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

  1. 1

    Betrachtet wird die Funktion f:xx3x4x2 mit ihrer maximalen Definitionsmenge Df. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen Gf der Funktion f.

    Bild
    1. Bestimmen Sie Df sowie die Nullstellen von f und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von f an.

    2. Gf besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte H1 und T1 ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu H1(3,26|4,74) bzw. T1(0,61|0,11). Zeigen Sie rechnerisch, dass Gf punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte H2 und T2 an.

    3. Ermitteln Sie für jede Asymptote von Gf ihre Art und ihre Gleichung.

    4. Gf schneidet die x-Achse für x>0 im Punkt N (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an Gf im Punkt N.

      [Teilergebnis: f(x)=4x4+11x24(4x2)2 ]

    5. Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion f:

      f(x)=6(x3+12x)(4x2)3

      f(x)=18(x4+24x2+16)(4x2)4

      f(x)=72(x5+40x3+80x)(4x2)5

      (Nachweis nicht erforderlich!)

      Es gilt: Df=Df=Df

      Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion f auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion f ein.

      f(x)=(x+60x+240x+64(4x2)

  2. 2

    Für den Hintergrund einer Modelleisenbahn soll mithilfe eines 3D-Druckers eine Berglandschaft gedruckt werden. Der Graph Gk der Funktion k mit der Gleichung k(x)=a(x2+1)ex , a und dem Definitionsbereich Dk=[0;10] beschreibt die obere Kontur der Berglandschaft. Die Variable x gibt den Abstand vom linken Rand der Berglandschaft in cm und der Funktionswert k(x) die Höhe der Konturlinie in cm über dem Boden an.

    Bild

    Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

    1. Die Funktion k ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton abnehmend. Bestimmen Sie den Wert des Parameters a, wenn die Berglandschaft an ihrem höchsten Punkt 9 cm hoch sein soll.

    2. Für die folgenden Teilaufgaben gilt: k(x)=9(x2+1)ex

      An der Berglandschaft sollen Bäumchen befestigt werden. Damit diese aufrecht stehen, müssen sie an einer Stelle mit waagrechter Tangente angebracht werden. Berechnen Sie dazu die Koordinaten des Punktes auf der Konturlinie, der diese Bedingung erfüllt

    3. Zeigen Sie, dass die Funktion K mit K(x)=9(x2+2x+3)ex mit Dk=[0;10] eine Stammfunktion von k ist.

      Bestimmen Sie den Wert des Integrals I=20010 k(x)dx

      und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

      [ Teilergebnis: I539,00 ]

    4. Zur Herstellung der Berglandschaft wird Kunstharz zu einem Preis von 59,90 € für 1000cm3 benötigt. Ermitteln Sie den Materialpreis für eine Berglandschaft gleicher Form, die nicht 20cm sondern ein Meter lang ist. Verluste an Kunstharz durch den Herstellungsprozess sollen dabei nicht berücksichtigt werden.

    5. Nun wird zusätzlich die Funktion h mit h(x)=ln(x2+4x)+2 in dem maximalen Definitionsbereich Dh=]0;4[ betrachtet. Der Teil des Graphen Gh der Funktion h, der über der x-Achse liegt, beschreibt die Begrenzungslinie eines Tunnels (siehe Aufgabenstellung), der nach der Herstellung durch den 3D-Drucker in die Berglandschaft gefräst werden soll.

      1) Für die Kalibrierung der Fräse werden die Schnittpunkte von Gh mit der x-Achse benötigt. Ermitteln Sie die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte.

      2) Der Punkt H (siehe Aufgabenstellung) ist der höchste Punkt des Tunnels (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes H.


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