Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3B

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit

$A(0|3| 0), B(0|9| 0), C(4|10| 0)$ und $D(4|2| 0)$ sowie der Spitze im Punkt $S(0|6| 8)$ .

$M$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{D S}$ und $N$ bezeichnet den Mittelpunkt der Kante $\overline{C S}$ .

Begründen Sie, dass das Dreieck $D C S$ gleichschenklig ist.

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Gerade, auf der die Symmetrieachse des Dreiecks DCS liegt. (6 BE)

Berechnen Sie den von den Kanten $\overline{A B}$ und $\overline{A M}$ eingeschlossenen Winkel. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen

Punkt $M$

Die Mitte der Punkte $S(0|6| 8)$ und $D(4|2| 0)$ ist der Punkt $M(2|4|4)$ . Hier wurde jeweils die Mitte der Koordinaten bestimmt.

Vektoren berechnen

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AM}$ berechnen wir "Spitze minus Fuß":

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\9\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \overrightarrow{AM}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$

Die Länge der Vektoren, die wir für den Winkel benötigen, betragen:

$\displaystyle \|\overrightarrow{AB}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{0^2+6^2+0^2}=6$
$\displaystyle \|\overrightarrow{AM}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2+1^2+4^2}=\sqrt{21}$

Winkel berechnen

Wir setzen die Vektoren und deren Längen in die Formel ein:

$\displaystyle \cos\alpha$	$=$	$\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\6\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}{6\cdot\sqrt{21}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{6}{6\cdot\sqrt{21}}$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\right)$
$\displaystyle \alpha$	$≈$	$\displaystyle 77°$

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt etwa $77°$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Die Punkte $A, B, M$ und $N$ sind die Eckpunkte eines Trapezes.
Betrachtet wird jetzt ein beliebiger Punkt $P$ auf der Kante $\overline{C S}$ sowie ein beliebiger Punkt $Q$ auf der Kante $\overline{D S}$ .
Begründen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ die folgenden Koordinaten haben: (5 BE)
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Geraden aufstellen
Gerade durch $C$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OC}+p\cdot \overrightarrow{CS}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-10\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\10\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\-4\\8\end{pmatrix}$
Gerade durch $D$ und $S$ : $\vec{x}=\overrightarrow{OD}+p\cdot \overrightarrow{DS}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}0-4\\6-2\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\8\end{pmatrix}$
Punkte aufstellen
Die Parameter $p\in\mathbb{R}$ beschreiben für $0\le p\le 1$ Punkte zwischen $C/D$ und $S$ .
Die Zeilen der Geraden werden als Koordinaten aufgeschrieben:
$P(4-4p|10-4p|8p)$ mit $0 \leq p \leq 1$
$Q(4-4q|2+4q|8q)$ mit $0 \leq q \leq 1$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Bestimme die Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ , sowie durch $D$ und $S$ .
Schreibe die Zeilen der Geraden als Koordinaten auf.
Untersuchen Sie, ob es einen Punkt $P$ sowie einen Punkt $Q$ gibt, sodass das Viereck $A B P Q$ ein Rechteck ist. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Nachweis des Rechtecks
In der Skizze lässt sich sehen, dass es so einen Fall geben muss. Die Vektoren $\overrightarrow{BP}$ und $\overrightarrow{AQ}$ stehen dabei senkrecht auf der y-Achse.
Von vorne lässt sich das leichter erkennen:
Wenn der Punkt $Q$ die y-Koordinate $3$ hat, steht die Seite senkrecht auf der y-Achse.
Dazu muss gelten: $2+4q=3$
Die Lösung $q=\frac14$ existiert, daher gibt es so einen Punkt $Q( 3|3|2)$ .
Pyramide von vorne
Genauso erhält man für den Vektor $\overrightarrow{BP}$ , dass die $y$ -Koordinate den Wert $9$ haben muss: $10-4p=9$ ergibt auch $p=\frac{1}{4}$ . Damit existiert auch $P(3|9|2)$ .
Da der Abstand $|\overrightarrow{PQ}|=6=|\overrightarrow{AB}|$ ist, handelt es sich wirklich um ein Rechteck.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für ein Rechteck müssen alle Innenwinkel $90°$ betragen.
Bestimme den Parameter $p$ der Punkte $P$ und $Q$ auf Teilaufgabe (c), für die die Vektoren senkrecht auf der y-Achse stehen.

$\displaystyle g:\ \vec{x}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SM_{CS}}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4-0\\6-6\\0-8\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\8\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-8\end{pmatrix}$

Aufgabe 3B

Gleichschenkliges Dreieck

Geradengleichung aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punkt $M$

Vektoren berechnen

Winkel berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Geraden aufstellen

Punkte aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nachweis des Rechtecks

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 3B

Gleichschenkliges Dreieck

Geradengleichung aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punkt MMM

Vektoren berechnen

Winkel berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Geraden aufstellen

Punkte aufstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Nachweis des Rechtecks

Hast du eine Frage oder Feedback?

Punkt $M$