Teil 1 Lineare Algebra - lernen mit Serlo!

In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene $E : - x_{2} + x_{3} = 5$ und der Punkt $P (4 | - 2 | 4)$ gegeben.

Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht, und bestimmen Sie den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E.
[Mögliches Teilergebnis: $L (4 | - 1,5 | 3,5)$ ]. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Zeige, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt
Gegeben: $E : - x_{2} + x_{3} = 5$ und der Punkt $P (4 | - 2 | 4)$ .
Setze die Koordinaten von $P$ in $E$ ein:
$- (- 2) + 4 = 5 \Rightarrow 6 \neq 5 \Rightarrow P \notin E$ .
Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .
Gib eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht
Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.
${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Dieser Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g.
Also folgt:
$g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot {\vec{n}}_{E}$
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ , die zur Ebene $E$ senkrecht steht, ist $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E
Setze $g$ in $E$ ein:
$- (- 2 - r) + (4 + r) = 5 \Rightarrow 2 + r + 4 + r = 5 \Rightarrow 6 + 2 r = 5 \Rightarrow 2 r = - 1 \Rightarrow r = - \frac{1}{2}$
Setze $r = - \frac{1}{2}$ in $g$ ein:
${\vec{x}}_{L} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) - \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \\ 3,5 \end{array}) \Rightarrow L (4 | - 1,5 | 3,5)$
Der Schnittpunkt von $g$ und E ist $L (4 | - 1,5 | 3,5)$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Setze die Koordinaten von $P$ in $E$ ein.
Teil 2
Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.
Dieser Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g.
$g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot {\vec{n}}_{E}$
Teil 3
Setze $g$ in $E$ ein.
Für den Punkt $Q$ gilt: $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L}$ .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $Q$ . Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelungen in der analytischen Geometrie
Berechne die Koordinaten des Punktes $Q$
$\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 - 4 \\ - 1,5 - (- 2) \\ 3,5 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow Q (4 | - 1 | 3)$
Die Koordinaten des Punktes $Q$ sind $Q (4 | - 1 | 3)$ .
Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Setze die bekannten Werte in $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L}$ ein.
Teil 2
$Q$ ist der Spiegelpunkt von $P$ bezüglich der Ebene $E$ . Fertige dazu eine Zeichnung an.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Zeige, dass der Punkt P nicht in der Ebene E liegt

Gib eine Gleichung der Geraden g durch den Punkt P an, die zur Ebene E senkrecht steht

Bestimme den Schnittpunkt L von g und E

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Koordinaten des Punktes Q

Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte Q, P und der Ebene E hervorgeht

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt

Gib eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht

Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E

Berechne die Koordinaten des Punktes $Q$

Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht