Prüfungsteil 2 2023 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Eine Firma produziert herzförmige Dekoanhänger aus Metall. Jedes Herz besteht aus einem Quadrat mit der Kantenlänge $6 \mathrm{~cm}$ , an das zwei Halbkreise mit einem Radius von jeweils $3 \mathrm{~cm}$ angesetzt sind (Abbildung).

Abbildung: geometrische Form eines Herzens

Zeichne ein Herz in Originalgröße in dein Heft. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Schritt 1: Zeichne das Quadrat
Zeichne zuerst die senkrechte Linie.
Berechne dazu die Länge der Strecke zwischen oberer und unterer Ecke.
Hierfür verwenden wir den Satz des Pythagoras:
$\displaystyle x^2=6^2+6^2\\x=\sqrt{72}\\x=\color{red}8{,}5$
Der Mittelpunkt der Strecke liegt bei $8{,}5:2=\color{green}4{,}25~\text{cm}$ .
Zeichne die waagerechte Linie mit $4{,}25~\text{cm}$ in jede Richtung.
Zuletzt verbinden wir die Eckpunkte und erhalten so unser Quadrat mit einer Seitenlänge von $6~\text{cm}$ .
Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise
Setze hierfür in den Mittelpunkt der beiden oberen Seiten deinen Zirkel mit dem Radius $3~\text{cm}$ an und zeichne jeweils einen Halbkreis.
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Zeichne erst das Quadrat. Berechne hierfür die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.
Ergänze die beiden Halbkreise an den oberen Seiten.
Bestätige rechnerisch, dass ein Herz einen Flächeninhalt von ca. $64{,}3\mathrm{~cm}^2$ hat. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Berechnung der Gesamtfläche
$\color{red}A_{Quadrat}\color{black}=6\cdot6 = 36$
$\color{green}A_{Halbkreis}\color{black}= \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot 3$ $^2=14{,}14$
$A_{Gesamt}=\color{red}A_{Quadrat}\color{black}+2\cdot \color{green}A_{Halbkreis}\color{black}=36+2\cdot 14{,}14=64{,}3$
Das Herz hat also eine Gesamtfläche von $\color{blue}64{,}3~\text{cm}^2$ .
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Berechne die einzelnen Teilflächeninhalte (Quadrat und zwei Halbkreise)
Berechne nun den Gesamtflächeninhalt
Die Herzen werden aus dünnen Metallblechen hergestellt. $1 \mathrm{dm}^{2}$ des Metallblechs wiegt $117 \mathrm{~g}$ .
Berechne das Gewicht eines Herzens. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Wir wissen, dass $1~\text{dm}^2$ $117~\text{g}$ wiegt.
Wir müssen also den Flächeninhalt zunächst in $d m^{2}$ umrechnen:
$64{,}3 cm^2 = 0{,}64 dm^2$
Daher gilt:

$\text{Gesamtgewicht}=117\cdot \color{Blue}0{,}64\color{black}=74{,}88$
Ein Herz wiegt also $74,88 g$
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Du kennst das Gewicht für $1~\text{dm}^2$ .
Berechne mithilfe der Gesamtfläche das gesamte Gewicht eines Herzens.
Um die Breite $b$ eines Herzens zu bestimmen, wird eine Skizze angefertigt (Abbildung). Hier gilt: Die Strecke $\overline{A B}$ entspricht der Breite $b . ~\overline{A B}$ geht durch die Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ der angesetzten Halbkreise.
Zeige durch eine Rechnung, dass die Strecke $\overline{M_1M_2}$ eine Länge von etwa $4{,}24 \mathrm{~cm}$ hat. (3 P)
Skizze zur Berechnung der Breite $b$ und der Höhe $h$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Uns fällt auf, dass es sich bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Auch hier kennen wir bereits die Strecken $\overline{CM_1}$ und $\overline{M_2C}$ . Es handelt sich wieder um den Radius.
Betrachtet man das Dreieck, handelt es sich bei $\overline{M_1M_2}$ und die Hypotenuse.
Nach Satz des Pythagoras gilt:
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^2 = \overline{CM_1}$ $^2+\overline{M_2C}$ $^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}$ $^{2} = 3^{2} + 3^{2}$
$\color{red}\overline{M_1M_2} \color{black}= \sqrt{18}$
$\color{red}\overline{M_1M_2}\color{black}\approx4{,}24$
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Bei $\bigtriangleup M_1M_2C$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Wende den Satz des Pythagoras an.
Berechne die Breite $b$ eines Herzens. (2 P)
cm
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Formel für die Breite $b$
$b$ = $\overline{AM_1} + \overline{M_1M_2} + \overline{M_2B}$
$\overline{AM_1}$ und $\overline{M_2B}$ kennen wir bereits: Es handelt sich dabei um den Radius der Halbkreise.
Gesamte Breite b
Wir setzten unsere Ergebnisse jetzt einfach in unsere Formel aus dem ersten Schritt und erhalten:
$b = 3 + 3 + 4,24 = 10,24$
Das Herz hat also eine Breite von $10{,}24 ~\text{cm}$ .
Skizze Dreieck
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Skizziere dir die Breite.
Untersuche, aus welchen Teilstrecken sie besteht.
Addiere nun alle Längen, die für die Breite des Herzes nötig sind.

Die Herzen werden in den Farben rot und weiß produziert und farblich gemischt in Kartons verpackt. Beim Fabrikverkauf werden die Herzen angeboten. Die Kunden dürfen ohne hinzusehen nacheinander zwei Herzen aus dem Karton ziehen. Zu diesem Zufallsversuch gehört das folgende Baumdiagramm.

In einem Karton sind 15 Herzen rot, die restlichen Herzen sind weiß.

Begründe, dass sich in dem Karton insgesamt 20 Herzen befinden. (2 P)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Herzen gezogen werden.

(1) Ergänze im Baumdiagramm die dafür notwendigen Wahrscheinlichkeiten. (2 P)

(2) Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. (2 P)

$\displaystyle \color{darkorange}15\ \text{Herzen}$	$≘$	$\displaystyle \color{blue}75\ \%$	$\displaystyle :15$
$\displaystyle 1\ \text{Herz}$	$=$	$\displaystyle 5\ \%$	$\displaystyle \cdot20$
$\displaystyle 20\ \text{Herzen}$	$=$	$\displaystyle \color{green}100\ \%$

$\displaystyle p(\text{verschiedenfarbige Herzen})$	$=$	$\displaystyle p(\text{rot,weiß})+p(\text{weiß,rot})$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{5}{19}+\frac{1}{4}\cdot\frac{15}{19}$
	$=$	$\displaystyle \frac{15}{38}$

Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Berechnung der Gesamtfläche

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Formel für die Breite $b$

Gesamte Breite b

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Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Aufgabe 1: Herzlich willkommen

Schritt 1: Zeichne das Quadrat

Schritt 2: Ergänze die beiden Halbkreise

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Berechnung der Gesamtfläche

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Formel für die Breite bbb

Gesamte Breite b

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Wir wissen...

Dreisatz anwenden

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Wir zeichnen zunächst das Baumdiagramm:

Nun berechnen wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

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Formel für die Breite $b$