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Aufgabe 1C

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=127x3−43xf(x)=\frac{1}{27} x^{3}-\frac{4}{3} x.

Der Graph von ff besitzt zwei Extrempunkte. Einer davon hat die xx-Koordinate 12\sqrt{12}.

Der Graph von ff hat den Wendepunkt (0∣0).(0|0).

  1. Begründen Sie, dass der Graph von ff symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.

    Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von ff mit den Koordinatenachsen. (5 BE)

  2. Es gibt Punkte des Graphen von ff, in denen die Tangente an den Graphen von ff parallel zur Geraden durch die beiden Extrempunkte des Graphen von ff ist.

    Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte. (6 BE)

  3. Bestimmen Sie alle Werte für dd, sodass der Graph zu f(x)+df(x)+d genau zwei Nullstellen besitzt. (4 BE)

  4. Die Tangente tt an den Graphen von ff im Punkt P(6∣f(6))P(6 \mid f(6)) hat die Gleichung t(x)=83x−16t(x)=\frac{8}{3} x-16. Der Graph von ff und die Tangente tt schließen eine Fläche ein.

    Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (4 BE)

  5. Der Graph von ff soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:

    • Spiegeln an der xx-Achse

    • Verschieben um 6 in positive xx-Richtung

    • Verschieben um 14 in positive yy-Richtung

    Geben Sie an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, nachdem die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt wurden.

    Begründen Sie Ihre Angabe. (5 BE)

  6. Wird der Graph von ff den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg mit

    g(x)=−127x⋅(x−6)⋅(x−12)+14g(x)=-\frac{1}{27} x \cdot(x-6) \cdot(x-12)+14.

    Die Abbildung zeigt den Graphen von gg.

    Die Funktion gg beschreibt für 0≤x<120 \leq x<12 den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

    Dabei ist xx die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und g(x)g(x) die Temperatur in ∘C{ }^{\circ} \mathrm{C}

    Geben Sie die Bedeutung der Wendestelle von gg hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an. (3 BE)

    Bild

  7. Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

    g′(x)=0⇔x=6−12g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=6-\sqrt{12} oder x=6+12x=6+\sqrt{12}

    g(6+12)−g(6−12)≈6,2g(6+\sqrt{12})-g(6-\sqrt{12}) \approx 6{,}2

    Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an.

    Erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg. (5 BE)

  8. Entscheiden Sie, ob die Funktion gg für x≥12x \geq 12 geeignet ist, den Verlauf der

    Tagesdurchschnittstemperatur an dem betrachteten Ort für ein weiteres Jahr zu beschreiben.

    Begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)