Heft 2 - B1

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Nina steht vor einem Windrad. Sie peilt die Nabe unter einem Höhenwinkel von $42^{\circ}$ und den höchsten Punkt eines Rotorblattes unter einem Höhenwinkel von $54^{\circ}$ an. Sie steht $120 \mathrm{~m}$ vom Fuß des Windrads entfernt und hat eine Augenhöhe von 1,60 m.

Vervollständige die nicht maßstabsgetreue Skizze mit den gegebenen Streckenlängen und Winkelgrößen. (1 Punkt)
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Trage die Werte aus der Aufgabenstellung in die Skizze ein

Berechne die Höhe des Turmes bis zur Nabe. (2 Punkte)

Weise nach, dass ein Rotorblatt eine Länge von ca. $57 \mathrm{~m}$ hat. (2 Punkte)

Drei Windräder stehen, wie in der Zeichnung dargestellt, an den Standorten $A, B$ und $C$ . Aus Sicherheitsgründen sollen die Standorte der Windräder einen Mindestabstand des dreifachen Rotordurchmessers haben.

$c=400 \mathrm{~m}$

$\alpha=53^{\circ}$

$\beta=61^{\circ}$

Zeige, dass auch der Abstand der Standorte $B$ und $C$ diese Vorgabe erfüllt. (4 Punkte)

Ein weiteres Windrad soll errichtet werden. Der Standort $D$ wurde ermittelt, indem der Standort $C$ an der Strecke $\overline{A B}$ gespiegelt wurde.

Vervollständige die Skizze. (1 Punkt)
$c=400 \mathrm{~m}$
$\alpha=53^{\circ}$
$\beta=61^{\circ}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion der Achsenspiegelung
Vervollständigen der Skizze:
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Lege eine Gerade durch $\text{C}$ senkrecht zu $\mathrm{\overline{AB}}$ , die Gerade schneidet $\mathrm{\overline{AB}}$ im Punkt $\text{P}$
Schlage einen Kreisbogen um $\text{P}$ mit dem Radius $\mathrm{\overline{CP}},$ der Kreisbogen schneidet die Gerade in $\text{D}.$
Verbinde die Punkte $\text{A}$ und $\text{B}$ mit dem Punkt $\text{D}$ .
Berechne die Entfernung zwischen den Standorten $\text{C}$ und $\text{D}$ .
(Solltest du in (2) die Strecke $\overline{\text{BC}}$ nicht berechnet haben, kannst du hier mit einer Länge von $\mathrm{350\ m}$ weiterrechnen.)
(3 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechnen der Strecke $\overline{\text{CP}}$ :
Im rechtwinkligem Dreieck gilt:
$\mathrm{sin\alpha=\dfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}$
angewandt auf das Dreieck $\textbf{BCP}$ :
$\mathrm{sin\measuredangle{PBC}=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{BC}}};\qquad \mathrm{sin(61^{\circ})=\dfrac{\overline{CP}}{\overline{349{,}69}}\quad\Rightarrow \overline{CP}=349{,}69\cdot sin(61^{\circ})}$
$\mathrm{\overline{CP}=349{,}69\cdot 0{,}8746}$
$\mathrm{\overline{CP}\approx305{,}84\ m}$
$\mathrm{\overline{CD}=2\cdot \overline{CP}\quad\Rightarrow \overline{CD}=2\cdot 305{,}88}$
$\mathrm{\overline{CD}\approx611{,}68\ m}$
Die Entfernung der Standorte $\text{C}$ und $\text{D}$ beträgt ungefähr: $\boxed{\mathrm{611{,}68\ m}}.$
Schreibe den Wert in die Lücke.
Wenn Du für $\mathrm{\overline{BC}=350\ m}$ einsetzt, erhältst Du für $\mathrm{\overline{CD}\approx612{,}23\ m}.$
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Das Teildreieck CPB ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Berechne $\overline{\text{CP}}$ des Sinus.
Verdopple die Strecke $\overline{\text{CP}}$

Sarah und Jasmin haben den Flächeninhalt des Vierecks berechnet, das die vier Windräder miteinander bilden.

Sarah	$\text{Jasmin}$
$A=350 \cdot 400 \cdot \sin \left(61^{\circ}\right)$	$A=\frac{400 \cdot 612{,}23}{2}$
$A \approx 122446{,}8$	$A=122446$

Erläutere die beiden unterschiedlichen Lösungswege. (2 Punkte)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{a}{120}$	$=$	$\displaystyle \tan(42^\circ)$	$\displaystyle \cdot 120$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan(42^\circ) \cdot 120$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 108{,}05$

$\displaystyle h_{Turm}$	$=$	$\displaystyle 108{,}05+1{,}60$
	$=$	$\displaystyle 109{,}65$

$\displaystyle \dfrac{b}{120}$	$=$	$\displaystyle \tan(54^\circ)$	$\displaystyle \cdot 120$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \tan(54^\circ) \cdot 120$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 165{,}17$

$\displaystyle L_{Rotorblatt}$	$=$	$\displaystyle b-a$
	↓	Einsetzen der Werte für $a$ und $b$
$\displaystyle L_{Rotorblatt}$	$=$	$\displaystyle 165{,}17-108{,}05$
$\displaystyle L_{Rotorblatt}$	$=$	$\displaystyle 57{,}12$

$\displaystyle M$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot L_{Rotorblatt} \cdot 3$
	↓	$L_{Rotorblatt} = 57 \text{\,m}$ einsetzen
$\displaystyle M$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot 57 \cdot 3$
$\displaystyle M$	$=$	$\displaystyle 342$

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Vervollständigen der Skizze:

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Berechnen der Strecke $\overline{\text{CP}}$ :

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Jasmin's Berechnung:

Sarah's Berechnung:

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$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180^\circ -\alpha - \beta$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180^\circ -53^\circ - 61^\circ$
$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 66^\circ$

$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\sin(\gamma)}\cdot\sin\left(\alpha\right)$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{400}{\sin(66^{\circ})}\cdot\sin(53^{\circ})$
$\displaystyle a$	$≈$	$\displaystyle 349{,}69$

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Berechnen der Strecke CP‾\overline{\text{CP}}CP :

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Jasmin's Berechnung:

Sarah's Berechnung:

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Berechnen der Strecke $\overline{\text{CP}}$ :