Heft 2 - B1

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Hier findest du die Aufgaben und Lösungen des Mathe MSA 2021 Prüfungsteil 2 Aufgabe 1.

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Ein Taschenrechner ist in diesem Prüfungsteil erlaubt.

1
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Nina steht vor einem Windrad. Sie peilt die Nabe unter einem Höhenwinkel von $42^{\circ}$ und den höchsten Punkt eines Rotorblattes unter einem Höhenwinkel von $54^{\circ}$ an. Sie steht $120 m$ vom Fuß des Windrads entfernt und hat eine Augenhöhe von 1,60 m.
1. Vervollständige die nicht maßstabsgetreue Skizze mit den gegebenen Streckenlängen und Winkelgrößen. (1 Punkt)
  
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  Trage die Werte aus der Aufgabenstellung in die Skizze ein
2. Berechne die Höhe des Turmes bis zur Nabe. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
  Länge der Strecke $a$ von Ninas Augenhöhe bis zur Nabe
  
  $\frac{a}{120}$ $=$ $\tan (42^{\circ})$ $\cdot 120$
  $a$ $=$ $\tan (42^{\circ}) \cdot 120$
  $a$ $=$ $108,05$
  Zur Berechnung der Länge des Turms muss noch Ninas Augenhöhe dazu addiert werden.
  $h_{T u r m}$ $=$ $108,05 + 1,60$
  $=$ $109,65$
  Die Höhe des Turms bis zur Nabe beträgt $109,65 m$
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  Stelle alle bekannten Größen zusammen und überlege, welche zur Lösung der Ausgabe verwendet werden können
  Wende eine trigonometrische Funktion an
3. Weise nach, dass ein Rotorblatt eine Länge von ca. $57 m$ hat. (2 Punkte)
  
  Länge der Strecke $b$ von Ninas Augenhöhe bis zur Rotorspitze
  $\frac{b}{120}$ $=$ $\tan (54^{\circ})$ $\cdot 120$
  $b$ $=$ $\tan (54^{\circ}) \cdot 120$
  $b$ $=$ $165,17$
  Länge des Rotorblatts
  $L_{R o t o r b l a t t}$ $=$ $b - a$
  ↓
  Einsetzen der Werte für $a$ und $b$
  $L_{R o t o r b l a t t}$ $=$ $165,17 - 108,05$
  $L_{R o t o r b l a t t}$ $=$ $57,12$
  Ein Rotorblatt hat eine Länge von ca. 57 m.
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  Berechne die Strecke von Ninas Augenhöhe bis zur Rotorspitze
  Ziehe davon die Strecke von Ninas Augenhöhe bis zur Nabe ab und vergleiche
2
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Drei Windräder stehen, wie in der Zeichnung dargestellt, an den Standorten $A, B$ und $C$ . Aus Sicherheitsgründen sollen die Standorte der Windräder einen Mindestabstand des dreifachen Rotordurchmessers haben.
$c = 400 m$
$α = 53^{\circ}$
$β = 61^{\circ}$
Zeige, dass auch der Abstand der Standorte $B$ und $C$ diese Vorgabe erfüllt. (4 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Mindestabstand $M$ berechnen
$M$ $=$ $2 \cdot L_{R o t o r b l a t t} \cdot 3$
↓
$L_{R o t o r b l a t t} = 57 m$ einsetzen
$M$ $=$ $2 \cdot 57 \cdot 3$
$M$ $=$ $342$
Winkel $γ = ∠ A C B$ berechnen
$γ$ $=$ $180^{\circ} - α - β$
↓
Werte einsetzen
$γ$ $=$ $180^{\circ} - 53^{\circ} - 61^{\circ}$
$γ$ $=$ $66^{\circ}$
Sinussatz zur Berechnung von $a$ anwenden
$a$ $=$ $\frac{c}{\sin (γ)} \cdot \sin (α)$
$a$ $=$ $\frac{400}{\sin (66^{\circ})} \cdot \sin (53^{\circ})$
$a$ $\approx$ $349,69$
Vergleich des Abstands $a$ der Standorte B und C mit dem Mindestabstand
$M$ $>$ $a$
$342$ $<$ $349,69$
Da $a$ der kleinste der drei Winkel gegenüberliegt, ist es auch die kürzeste Seite. Die Länge von $a$ ist der Abstand der Standort B und C und größer als der Mindestabstand.
Damit ist der Mindestabstand für alle drei Windräder eingehalten.
Berechne den Mindestabstand
Berechne die Größe des dritten Winkels $∠ A C B = γ$
Verwende den Sinussatz zur Berechnung der Strecke $a$
3
Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein weiteres Windrad soll errichtet werden. Der Standort $D$ wurde ermittelt, indem der Standort $C$ an der Strecke $A B$ gespiegelt wurde.
1. Vervollständige die Skizze. (1 Punkt)
  $c = 400 m$
  $α = 53^{\circ}$
  $β = 61^{\circ}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion der Achsenspiegelung
  Vervollständigen der Skizze:
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  Lege eine Gerade durch $C$ senkrecht zu $A B$ , die Gerade schneidet $A B$ im Punkt $P$
  Schlage einen Kreisbogen um $P$ mit dem Radius $C P,$ der Kreisbogen schneidet die Gerade in $D .$
  Verbinde die Punkte $A$ und $B$ mit dem Punkt $D$ .
2. Berechne die Entfernung zwischen den Standorten $C$ und $D$ .
  (Solltest du in (2) die Strecke $BC$ nicht berechnet haben, kannst du hier mit einer Länge von $350 m$ weiterrechnen.)
  (3 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Strecke $CP$ :
  Im rechtwinkligem Dreieck gilt:
  $s i n α = \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e}$
  angewandt auf das Dreieck $𝐁𝐂𝐏$ :
  $s i n ∡ P B C = \frac{C P}{B C}; s i n (61^{\circ}) = \frac{C P}{349,69} \Rightarrow C P = 349,69 \cdot s i n (61^{\circ})$
  $C P = 349,69 \cdot 0,8746$
  $C P \approx 305,84 m$
  $C D = 2 \cdot C P \Rightarrow C D = 2 \cdot 305,88$
  $C D \approx 611,68 m$
  Die Entfernung der Standorte $C$ und $D$ beträgt ungefähr: $611,68 m .$
  Schreibe den Wert in die Lücke.
  Wenn Du für $B C = 350 m$ einsetzt, erhältst Du für $C D \approx 612,23 m .$
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  Das Teildreieck CPB ist ein rechtwinkliges Dreieck.
  Berechne $CP$ des Sinus.
  Verdopple die Strecke $CP$
3. Sarah und Jasmin haben den Flächeninhalt des Vierecks berechnet, das die vier Windräder miteinander bilden.
  Sarah
  $Jasmin$
  $A = 350 \cdot 400 \cdot \sin (61^{\circ})$
  $A = \frac{400 \cdot 612,23}{2}$
  $A \approx 122446,8$
  $A = 122446$
  Erläutere die beiden unterschiedlichen Lösungswege. (2 Punkte)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenformeln ebener Figuren
  Jasmin's Berechnung:
  Flächenformel Drachenviereck:
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} = \frac{e \cdot f}{2}$
  
  angewandt auf das Drachenviereck $ADBC :$
  $A_{A D B C} = \frac{A B \cdot D C}{2} \Rightarrow A_{A D B C} = \frac{400 \cdot 612,23}{2}$
  $A_{A D B C} = 122446 m^{2}$
  Sarah's Berechnung:
  Flächenformel Dreieck:
  $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β$
  angewandt auf das Dreieck $ABC :$
  $A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot \sin (61^{\circ})$
  der Flächeninhalt des Drachenvierecks ist dann:
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 350 \cdot 400 \cdot s i n (61^{\circ})$
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} = 350 \cdot 400 \cdot s i n (61^{\circ})$
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} \approx 122446,8 m^{2}$
  Sarah hat den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel:
  $A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β$
  berechnet und anschließend den Flächeninhalt verdoppelt.
  
  Jasmin hat den Flächeninhalt des Drachenvierecks mit der Formel :
  $A_{D r a c h e n v i e r e c k} = \frac{e \cdot f}{2}$
  berechnet.
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  Das Viereck ist ein Drachenviereck. Dieses Drachenviereck besteht aus $2$ kongruenten Dreiecken. Überlege, wie Du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks und eines Dreiecks berechnest.

Sarah	$Jasmin$
$A = 350 \cdot 400 \cdot \sin (61^{\circ})$	$A = \frac{400 \cdot 612,23}{2}$
$A \approx 122446,8$	$A = 122446$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{a}{120}$	$=$	$\tan (42^{\circ})$	$\cdot 120$
$a$	$=$	$\tan (42^{\circ}) \cdot 120$
$a$	$=$	$108,05$

$\frac{b}{120}$	$=$	$\tan (54^{\circ})$	$\cdot 120$
$b$	$=$	$\tan (54^{\circ}) \cdot 120$
$b$	$=$	$165,17$

$L_{R o t o r b l a t t}$	$=$	$b - a$
	↓	Einsetzen der Werte für $a$ und $b$
$L_{R o t o r b l a t t}$	$=$	$165,17 - 108,05$
$L_{R o t o r b l a t t}$	$=$	$57,12$

$M$	$=$	$2 \cdot L_{R o t o r b l a t t} \cdot 3$
	↓	$L_{R o t o r b l a t t} = 57 m$ einsetzen
$M$	$=$	$2 \cdot 57 \cdot 3$
$M$	$=$	$342$

$γ$	$=$	$180^{\circ} - α - β$
	↓	Werte einsetzen
$γ$	$=$	$180^{\circ} - 53^{\circ} - 61^{\circ}$
$γ$	$=$	$66^{\circ}$

$a$	$=$	$\frac{c}{\sin (γ)} \cdot \sin (α)$
$a$	$=$	$\frac{400}{\sin (66^{\circ})} \cdot \sin (53^{\circ})$
$a$	$\approx$	$349,69$

$h_{T u r m}$	$=$	$108,05 + 1,60$
	$=$	$109,65$

Heft 2 - B1

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Vervollständigen der Skizze:

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Berechnen der Strecke CP :

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Jasmin's Berechnung:

Sarah's Berechnung:

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Berechnen der Strecke $CP$ :