Aufgaben zum Thema Konfidenzintervalle

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Ein hergestelltes Werkstück ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $12 %$ fehlerhaft.

Ein Baumarkt bestellt 100 Werkstücke.

Wie lauten die Prognoseintervalle für die $1\sigma-,2\sigma-$ und $3\sigma-$ Umgebungen von $μ \mu$ ?

Es ist $\mu=n\cdot p=100\cdot 0{,}12=12$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{100\cdot 0{,}12\cdot 0{,}88}\approx3{,}25>3$ . Die Laplace-Bedingung ist erfüllt.

Berechnung der $\sigma$ -Intervalle $[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ :

$1\sigma-$ Intervall: $[12-1\cdot 3{,}25;12+1\cdot 3{,}25]=[8{,}75;15{,}25]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[9;15]$

$2\sigma-$ Intervall: $[12-2\cdot 3{,}25;12+2\cdot 3{,}25]=[5{,}5;18{,}5]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[6;18]$

$3\sigma-$ Intervall: $[12-3\cdot 3{,}25;12+3\cdot 3{,}25]=[2{,}25;21{,}75]\;\xrightarrow{\text{runden}}\;[3;21]$

MerkeRunden der Intervallgrenzen

Die Intervallgrenzen werden zu $μ \mu$ hin gerundet, d.h. die linke Intervallgrenze wird aufgerundet und die rechte Intervallgrenze wird abgerundet.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $9$ und höchsten $15$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $68{,}3\;\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $6$ und höchsten $18$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $95{,}5\;\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bestellung mindestens $3$ und höchsten $21$ fehlerhafte Werkstücke enthält, beträgt rund $99{,}7\;\%$ .

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Berechne $\mu=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ .
Berechne die $\sigma$ -Intervalle $[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$ mit $c = 1, 2$ und $c = 3$ .
Runde die Intervallgrenzen passend.

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