Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals

Geometrische Herleitung der Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals

Der Zusammenhang zwischen Integral und Mittelwert einer Funktion $f$ kann geometrisch hergeleitet werden.

Betrachtet wird eine Funktion $f$.

Das Integral $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$ entspricht dem orientiertem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse:

Wird die Funktion so verändert, dass sie nur den durchschnittlichen Funktionswert annimmt, dann sollte sich ihr Flächeninhalt unter dem Graphen nicht ändern.

Man kann den Durchschnittswert $${\displaystyle \overline{f}}$$ der Funktion $f$ also darüber definieren, dass der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Grundseite $${\displaystyle [a,b]}$$ auf der x-Achse und der Höhe $${\displaystyle \overline{f}}$$ gleich dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen von $f$ ist.

Es ist also $A_{\text{Rechteck}}=(b-a)\cdot \overline{f}$ und $$A_{\text{Integral}}={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

Damit erhält man die Gleichung:

$$A_{\text{Rechteck}}=A_{\text{Integral}}\Rightarrow (b-a)\cdot \overline{f}={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$.

Die Gleichung kann umgeformt werden zu:

Anwendungsbeispiele für die Berechnung des Mittelwertes mithilfe eines Integrals

1. Durchschnittliche Geschwindigkeit

Die Funktion $v(t)$ gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in ${\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}$ während einer dreistündigen Autofahrt an.

Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?

Es ist $${\displaystyle \overline{v}=\frac{1}{3-0}{\displaystyle {\int }_0^{3}v(t)\mathrm{d}t}}$$.

2. Durchschnittliche Höhe

Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit $t=0$ seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion $h(t)$ beschrieben ($h$ in Metern und $t$ in Stunden).

Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der $2.$ und $6.$ Stunde?

Es ist $${\displaystyle \overline{h}=\frac{1}{6-2}{\displaystyle {\int }_2^{6}h(t)\mathrm{d}t}}$$.

3. Durchschnittliche Temperatur

Der Temperaturverlauf der Außentemperatur wird zwischen $0$ Uhr und $24$ Uhr durch die Funktion $t(x)$ dargestellt. Wie groß ist die Durchschnittstemperatur zwischen $7.30$ Uhr und $15$ Uhr?

Es ist $${\displaystyle \overline{t}=\frac{1}{15-\mathrm{7,5}}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{7,5}}^{15}f(x)\mathrm{d}x}}$$.

4. Mittlere Steigung

Gegeben ist eine Funktion $f(x)$.

Wie groß ist die mittlere Steigung des Schaubildes von $f$ im Intervall $[2;8]$?

Es ist $${\displaystyle \overline{f^{\prime }}=\frac{1}{8-2}{\displaystyle {\int }_2^8{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x}}$$.