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Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals

Ein Mittelwert (oder Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Hier ist das arithmetische Mittel gemeint.

Bei n verschiedenen Werten y1 bis yn kann ihr Durchschnitt bzw. der Mittelwert

y bestimmt werden über: ⁣

y=y1+y2++ynn.

Eine Funktion f hat aber unendlich viele Funktionswerte. Mithilfe des Integrals kann der Mittelwert mit dieser Formel bestimmt werden:

f=1baabf(x)dx

Durchschnittlicher Funktionswert

Durchschnittlicher Funktionswert f

Geometrische Herleitung der Mittelwertberechnung mithilfe eines Integrals

Der Zusammenhang zwischen Integral und Mittelwert einer Funktion f kann geometrisch hergeleitet werden.

Betrachtet wird eine Funktion f.

Das Integral abf(x)dx entspricht dem orientiertem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse:

Bild

Wird die Funktion so verändert, dass sie nur den durchschnittlichen Funktionswert annimmt, dann sollte sich ihr Flächeninhalt unter dem Graphen nicht ändern.

Man kann den Durchschnittswert f der Funktion f also darüber definieren, dass der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Grundseite [a,b] auf der x-Achse und der Höhe f gleich dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen von f ist.

Bild

Es ist also ARechteck=(ba)f und AIntegral=abf(x)dx

Damit erhält man die Gleichung:

ARechteck=AIntegral(ba)f=abf(x)dx.

Die Gleichung kann umgeformt werden zu:

Anwendungsbeispiele für die Berechnung des Mittelwertes mithilfe eines Integrals

1. Durchschnittliche Geschwindigkeit

Die Funktion v(t) gibt zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit eines Autos in kmh während einer dreistündigen Autofahrt an.

Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hatte das Auto bei seiner Fahrt?

Es ist v=13003v(t)dt.

2. Durchschnittliche Höhe

Nachdem ein Heißluftballon zur Zeit t=0 seine Reisehöhe erreicht hat, wird seine Flughöhe durch die Funktion h(t) beschrieben (h in Metern und t in Stunden).

Welche durchschnittliche Reisehöhe hatte der Ballon zwischen der 2. und 6. Stunde?

Es ist h=16226h(t)dt.

3. Durchschnittliche Temperatur

Der Temperaturverlauf der Außentemperatur wird zwischen 0 Uhr und 24 Uhr durch die Funktion t(x) dargestellt. Wie groß ist die Durchschnittstemperatur zwischen 7.30 Uhr und 15 Uhr?

Es ist t=1157,57,515f(x)dx.

4. Mittlere Steigung

Gegeben ist eine Funktion f(x).

Wie groß ist die mittlere Steigung des Schaubildes von f im Intervall [2;8]?

Es ist f=18228f(x)dx.

Übungsaufgaben

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