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Teil 1 lineare Algebra und analytische Geometrie

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    FĂŒr die Vektoren ak→\overrightarrow{a_k}, b→\overrightarrow b und c→\overrightarrow c mit k∈Rk\in \mathbb{R} im R3\mathbb{R^3} gilt:

    ak⃗=(−102k)\vec{a_k} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2k \end{pmatrix} und b⃗×c⃗=(12−2)\vec{b}\times \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}

    1. Bestimmen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts des von den Vektoren b→\overrightarrow b und c→\overrightarrow c aufgespannten Dreiecks.

    2. Ermitteln Sie, fĂŒr welchen Wert fĂŒr kk die Vektoren ak→\overrightarrow{a_k}, b→\overrightarrow{b} und c→\overrightarrow{c} linear abhĂ€ngig sind.


  2. 2

    In einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R^3} sind die Ebene E:x1+3x3=0E: x_1+3x_3=0 und die Gerade g:x⃗=(−101)+λ⋅(210)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit λ∈R \lambda\in\mathbb{R} gegeben.

    1. Geben Sie jeweils die besondere Lage von gg und EE im Koordinatensystem an.

    2. Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes DD, der von der Ebene EE den Abstand d=10d=\sqrt{10} LE besitzt.

  3. 3

    Die Abbildung zeigt ein Prisma, bei dem die beiden parallelen und deckungsgleichen Trapeze ABFEABFE und DCGHDCGH senkrecht auf der GrundflÀche ABCDABCD stehen.

    Bild
    1. Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage:

      „Das Volumen des Prismas berechnet sich mittels der Formel V=∣AD→∘(AE→×AB→)∣V=\left| \overrightarrow{AD}\circ (\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AB})\right| ".

    2. BegrĂŒnden Sie anhand des beschriebenen Prismas, wie viele Lösungen die Gleichung λ1⋅AB→+λ2⋅AD→+λ3⋅HG→=0→\lambda_1\cdot \overrightarrow{AB}+\lambda_2\cdot \overrightarrow{AD}+\lambda_3\cdot \overrightarrow{HG}=\overrightarrow0 mit den Unbekannten λ1,λ2,λ3∈R\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}

      besitzt.


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