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Teil 2 Analysis I

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  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x↩x2x−1 mit der Definitionsmenge Df=ℝ\{1}. Der Graph der Funktion f heißt Gf. Die Abbildung zeigt einen Teil von Gf mit seinen beiden Asymptoten.

    Bild
    1. BestÀtigen Sie die schiefe Asymptote von Gf und die Nullstelle von f durch Rechnung.

    2. Geben Sie mithilfe der Abbildung die maximalen Monotonieintervalle sowie die Wertemenge der Funktion f an. Entnehmen Sie hierzu der Abbildung ganzzahlige Werte.

  2. 2

    Gegeben ist die reelle Funktion g:x↩ln⁥((f(x))=ln⁥(x2x−1) mit der maximalen Definitionsmenge Dg=]1;+∞[. Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet. FĂŒr die folgenden Teilaufgaben dĂŒrfen die Ergebnisse der Aufgabe 1 verwendet werden.

    1. Entscheiden Sie, ob die Funktion g Nullstellen besitzt und begrĂŒnden Sie Ihre Entscheidung.

    2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g an den RĂ€ndern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von Gg an.

    3. Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes von Gg.

    4. Zeichnen Sie den Graphen Gg und seine Asymptoten unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte fĂŒr 1<x≀6 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    5. Gegeben ist die Stammfunktion G : x↩−x+2x⋅ln⁥(x)−(x−1)⋅ln⁥(x−1) mit Dg=]1;+∞[ der Funktion g (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€chenstĂŒcks, das von Gg, der x-Achse sowie den beiden Geraden mit den Gleichungen x=2 und x=3 eingeschlossen wird. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen und kennzeichnen Sie das FlĂ€chenstĂŒck im Koordinatensystem der Teilaufgabe 2.d.

  3. 3

    Um die Wirksamkeit eines Medikaments zu untersuchen, wird nach dessen Einnahme die Konzentration im Blut der Patienten gemessen. Diese kann nĂ€herungsweise durch die Funktion k:t↩0,75t⋅e−0,25t+2 mit t∈ℝ+0 beschrieben werden. Dabei gibt der Funktionswert von k die Konzentration des Medikaments im Blut des Patienten in Milligramm pro Liter [6mg l] und die Variable t die Zeit in Stunden [h] nach der Einnahme des Medikaments an. Auf das MitfĂŒhren von Einheiten kann verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.

    1. Ermitteln Sie, nach wie vielen Stunden nach der Einnahme gemĂ€ĂŸ der gewĂ€hlten Modellfunktion die maximale Konzentration des Medikamentes im Blut erreicht ist und berechnen Sie diese maximale Konzentration.

    2. Berechnen Sie mithilfe partieller Integration den Wert des bestimmten Integrals 120∫020 k(t)dt und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

    3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion k in ein kartesisches Koordinatensystem im Intervall 0≀t≀25. Maßstab fĂŒr beide Achsen: 1 LE =0,5 cm. Übersteigt die Konzentration des verabreichten Medikaments im Blut des Patienten 6mg l können Nebenwirkungen auftreten. Ermitteln Sie nĂ€herungsweise mit Hilfe des Graphen von k, in welchem Zeitraum nach der Einnahme damit zu rechnen ist.

    4. Um die Nebenwirkungen zu vermindern, plant der Hersteller das Medikament geringer zu dosieren. Es soll vier Stunden nach der Einnahme als Höchstwert eine Konzentration von 56mg l im Blut auftreten. Die Konzentration im Blut lĂ€sst sich dann mit einer Funktionsgleichung der Art g(t)=c⋅t⋅e−0,25t+2 mit t∈ℝ𝟘+ und c∈ℝ modellhaft darstellen. Dabei gibt der Funktionswert von g die Konzentration des Medikaments im Blut des Patienten in Milligramm pro Liter 6mg l und die Variable t die Zeit in Stunden [ h] nach der Einnahme an.

      1. Bestimmen Sie den Wert des Parameters c.

      2. Einem Patienten wird verordnet, sechs Stunden nach der Ersteinnahme das Medikament nochmals einzunehmen. Die Konzentration im Blut entspricht dann modellhaft den Funktionswerten der Funktion h mit h(t)=0,46t⋅e−0,25t+2+0,46(t−6)e−0,25(t−6)+2 mit t∈ℝ und t≄6. Die Abbildung zeigt den Graphen Gh der Funktion h. Untersuchen Sie, ob der Patient bei dieser Verordnung mit Nebenwirkungen (siehe Teilaufgabe 3.c) zu rechnen hat.

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