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Gegeben ist die Funktion h:xh(x)=3x22x2x3+4xh: x\mapsto h(x)=\dfrac{3x^2-2x}{-2x^3+4x} mit der maximalen Definitionsmenge DhRD_h\subset \mathbb{R} . Der Graph der Funktion hh heißt GhG_h.

  1. Bestimmen Sie DhD_h, die Nullstellen von hh und geben Sie die Art der Definitionslücken von hh an.

  2. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen GhG_h an.

  3. Gegeben ist die Funktion f:xf(x)=3x22x2+4f: x\mapsto f(x)=\dfrac{3x-2}{-2x^2+4} mit der maximalen Definitionsmenge DfRD_f\subset \mathbb{R}. Der Graph der Funktion ff heißt GfG_f.

    1. Geben Sie die maximale Definitionsmenge von ff an und zeigen Sie, dass h(x)=f(x)h(x)= f(x) für alle xDhDfx\in D_h\cap D_f gilt.

    2. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen GfG_f.

    [ Mögliches Teilergebnis: f(x)=6x28x+12(2x24)2f'(x)=\dfrac{6x^2-8x+12}{(2x^2-4)^2} ]

    3. Zeichnen Sie die Asymptoten von GfG_f in ein kartesisches Koordinatensystem und fertigen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte eine Skizze des Graphen GfG_f an.

    4. Erstellen Sie eine Wertetabelle der ersten Ableitungsfunktion ff' für 0,5x1,25-0{,}5\le x\le1{,}25 mit der Schrittweite ∆x=0,25x =0{,}25 auf zwei Nachkommastellen gerundet. Begründen Sie mithilfe der Wertetabelle, dass GfG_f einen Wendepunkt besitzen muss. Entscheiden Sie, in welchem Quadranten dieser Wendepunkt liegt und begründen Sie diese Entscheidung.