Bestimmen Sie $D_{h}D\_h$, die Nullstellen von $hh$ und geben Sie die Art der Definitionslücken von $hh$ an.

Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen $G_{h}G\_h$ an.

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{-2x^2+4}}f:\; x\backslash mapsto\; f(x)=\backslash dfrac\{3x-2\}\{-2x^2+4\}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_f\subset \mathbb{R}D\_f\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$. Der Graph der Funktion $ff$ heißt $G_{f}G\_f$.

1. Geben Sie die maximale Definitionsmenge von $ff$ an und zeigen Sie, dass $h(x)=f(x)h(x)=\; f(x)$ für alle $x\in D_h\cap D_{f}x\backslash in\; D\_h\backslash cap\; D\_f$ gilt.

2. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen $G_{f}G\_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6x^2-8x+12}{(2x^2-4{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{6x^2-8x+12\}\{(2x^2-4)^2\}$ ]

3. Zeichnen Sie die Asymptoten von $G_{f}G\_f$ in ein kartesisches Koordinatensystem und fertigen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte eine Skizze des Graphen $G_{f}G\_f$ an.

4. Erstellen Sie eine Wertetabelle der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ für $-\mathrm{0,5}\le x\le \mathrm{1,25}-0\{,\}5\backslash le\; x\backslash le1\{,\}25$ mit der Schrittweite ∆$x=\mathrm{0,25}x\; =0\{,\}25$ auf zwei Nachkommastellen gerundet. Begründen Sie mithilfe der Wertetabelle, dass $G_{f}G\_f$ einen Wendepunkt besitzen muss. Entscheiden Sie, in welchem Quadranten dieser Wendepunkt liegt und begründen Sie diese Entscheidung.