Teil 1 Lineare Algebra und analytische Geometrie

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Für die Vektoren $\overrightarrow{a_k}$ , $\overrightarrow b$ und $\overrightarrow c$ mit $k\in \mathbb{R}$ im $\mathbb{R^3}$ gilt:
$\vec{a_k} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2k \end{pmatrix}$ und $\vec{b}\times \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
1. Bestimmen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des von den Vektoren $\overrightarrow b$ und $\overrightarrow c$ aufgespannten Dreiecks.
2. Ermitteln Sie, für welchen Wert für $k$ die Vektoren $\overrightarrow{a_k}$ , $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}$ linear abhängig sind.
2
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R^3}$ sind die Ebene $E : x_{1} + 3 x_{3} = 0$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\lambda\in\mathbb{R}$ gegeben.
1. Geben Sie jeweils die besondere Lage von $g$ und $E$ im Koordinatensystem an.
2. Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes $D$ , der von der Ebene $E$ den Abstand $d=\sqrt{10}$ LE besitzt.
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Die Abbildung zeigt ein Prisma, bei dem die beiden parallelen und deckungsgleichen Trapeze $A B F E$ und $D C G H$ senkrecht auf der Grundfläche $A B C D$ stehen.
1. Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage:
  „Das Volumen des Prismas berechnet sich mittels der Formel $V=\left| \overrightarrow{AD}\circ (\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AB})\right|$ ".
2. Begründen Sie anhand des beschriebenen Prismas, wie viele Lösungen die Gleichung $\lambda_1\cdot \overrightarrow{AB}+\lambda_2\cdot \overrightarrow{AD}+\lambda_3\cdot \overrightarrow{HG}=\overrightarrow0$ mit den Unbekannten $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}$
  besitzt.

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