Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Erwartungswert

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein blaues oder gelbes Feld trifft, ist nicht gegeben. Man bezeichnet also zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein blaues Feld trifft, $pp$, und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein gelbes Feld trifft, $qq$. Wir wissen, dass $p+q=1p\; \backslash \; +\; \backslash \; q\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 1$ sein muss, da man nur entweder ein blaues oder ein gelbes Feld treffen kann.

Der Erwartungswert beträgt, da es sich um eine Binomialverteilung handelt, für $XX$: $n\cdot p=100pn\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; p\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 100\; \backslash ,\; p$ und für $YY$: $n\cdot q=100qn\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; q\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 100\; \backslash ,\; q$.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz berechnet man bei einer Binomialverteilung mit der Formel

$n\cdot p\cdot (1-p)n\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; p\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; (1-p)$.

1. Varianz von $XX$: $100\cdot p\cdot (1-p)=100\cdot p\cdot q100\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; p\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; \backslash textcolor\; \{blue\}\; \{(1-p)\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 100\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; p\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; \backslash textcolor\; \{blue\}\; q$

2. Varianz von $YY$: $100\cdot q\cdot (1-q)=100\cdot q\cdot p100\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; q\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; \backslash textcolor\; \{green\}\; \{(1-q)\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 100\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; q\; \backslash \; \backslash cdot\; \backslash \; \backslash textcolor\; \{green\}\; p$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Varianz von $X=X\; \backslash \; =$ Varianz von $YY$

Da die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz ist, sind auch diese beiden Werte gleich.

Der Wert, den die Zufallsvariable am wahrscheinlichsten annimmt, ist gleich der Erwartungswert. Diesen Wert kann man in der Abbildung ablesen, der höchste Balken ist bei der Zahl $7575$.

$\Rightarrow E(X)=75\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; 75$

Der Erwartungswert ist bei einer Binomialverteilung als Produkt aus $nn$ und $pp$ definiert.

$\Rightarrow E(X)=n\cdot p=100\cdot p\backslash Rightarrow\; E(X)\; =\; n\; \backslash cdot\; p\; =\; 100\; \backslash cdot\; p$

Jetzt kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen:

Die Zufallsvariable $XX$ hat also eine Trefferwahrscheinlichkeit $pp$ von $\mathrm{0,75}0\{,\}75$. Da das Glücksrad insgesamt $2020$ gleich große Felder hat, müssen $20\cdot \mathrm{0,75}=1520\; \backslash cdot\; 0\{,\}75\; =\; 15$ davon blau sein.