Aus der Aufgabenstellung kann man folgende Werte auslesen:

• $n=200n\; =\; 200$, da $200200$ Pakete ausgewählt werden

• $k=[51;200]k\; =\; [51;\; 200]$, da $200\cdot \frac{1}{4}=50200\; \backslash ,\; \backslash cdot\; \backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 50$ und man die Wahrscheinlichkeit berechnen muss, dass mehr als ein Viertel Retouren sind

• $p=\mathrm{0,2}p\; =\; 0\{,\}2$; da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket eine Retoure ist, $20\mathrm{\%}20\backslash \%$ beträgt

Es handelt sich hier um eine kumulative Binomialverteilung, da man die Wahrscheinlichkeiten aller Fälle addieren muss, bei denen $xx$ zwischen $5151$ und $200200$ liegt. Man setzt also alle bekannten Werte in die Formel ein:

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Viertel der Pakete Retouren sind, beträgt also ca. $\mathrm{3,45}\mathrm{\%}3\{,\}45\backslash \%$.

Erklärung des Terms im Sachzusammenhang

Folgendes kann man aus dem Term herauslesen:

1. $1-(\text{Rest des Terms})1-\; (\backslash text\{Rest\; des\; Terms\})$: der Term beschreibt das Gegenteil der Wahrscheinlichkeit, die der Rest des Terms beschreibt

2. ${\sum }_{i=0}^8\backslash sum^8\_\{i=0\}$: der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 0 und 8 Treffer gemacht werden

3. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{30}{i}\right):n=30\{30\backslash choose\; i\}:\; \backslash \; \backslash \; n\; =\; 30$, insgesamt werden 30 Versuche gemacht

4. ${\mathrm{0,2}}^i:p=\mathrm{0,2}0\{,\}2^i:\; \backslash \; \backslash \; p\; =\; 0\{,\}2$; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $20\mathrm{\%}20\; \backslash \%$

Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass man bei $3030$ Versuchen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $20\mathrm{\%}20\; \backslash \%$, mehr als $88$ Treffer macht.

Im Sachzusammenhang beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass unter $3030$ zufällig ausgewählten Paketen mehr als $88$ Retouren sind.

Berechnung des Terms

Man berechnet zuerst die kumulative Binomialverteilung:

${\sum }_{i=0}^8\left(\begin{array}{c}30\\ i\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,2}}^i\cdot {\mathrm{0,8}}^{30-i}\approx \mathrm{0,8713}\backslash sum\_\{i=0\}^\{8\}\backslash begin\{pmatrix\}\; 30\; \backslash \backslash \; i\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\; 0\{,\}2^i\backslash cdot\; 0\{,\}8^\{30-i\}\; \backslash approx\; 0\{,\}8713$

Dann zieht man das Ergebnis von $11$ ab:

$1-\mathrm{0,8713}=\mathrm{0,1287}1\; -\; 0\{,\}8713\; =\; 0\{,\}1287$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $3030$ zufällig ausgewählten Paketen mehr als $88$ Retouren sind, beträgt ca. $\mathrm{12,87}\mathrm{\%}12\{,\}87\; \backslash \%$.

Zuerst setzt man die Angaben aus der Aufgabe in eine Formel um:

Es müssen mindestens $1111$ Pakete ausgewählt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\mathrm{\%}90\; \backslash \%$ eine Retoure darunter ist.

Übertragen der Angaben aus der Aufgabe

Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass eine Retoure keine Kleidung enthält

In der Aufgabenstellung steht, "Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten $91\mathrm{\%}91\; \backslash \%$ Kleidung".

Umgekehrt müssen von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, $9\mathrm{\%}9\; \backslash \%$ keine Kleidung enthalten.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Retoure keine Kleidung enthält, beträgt also $9\mathrm{\%}9\; \backslash \%$.

Für das erste Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Retoure handelt, $\frac{6}{25}\backslash frac\{6\}\{25\}$. Für das zweite Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch $\frac{5}{24}\backslash frac\{5\}\{24\}$, da man das erste Paket, das eine Retoure ist, abziehen muss. Multipliziert man diese beiden Werte erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn ausgewählten Paketen die ersten beiden Pakete Retouren sind, beträgt also $5\mathrm{\%}5\; \backslash \%\; \backslash ,$.

Folgende Aussagen und Schlussfolgerungen kann man aus der Aufgabe entnehmen bzw. herleiten:

1. Hier muss man zwei Wahrscheinlichkeiten addieren: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau zwei Retouren sind und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau drei Retouren sind.

2. Insgesamt werden zehn Pakete untersucht, das heißt, acht bzw. sieben von ihnen sind keine Retouren.

3. Die zehn Pakete werden aus 25 Paketen ausgewählt, von denen sechs Retouren sind, das heißt 19 sind keine Retouren.

4. Die Reihenfolge ist hier nicht wichtig und es wird nicht zurückgelegt, das heißt, man muss die Hypergeometrische Verteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Die Formel beschreibt die Sachlage wie folgt:

Der $\text{erste Binomialkoeffizient im Z}\ddot{\text{a}}\text{hler}\backslash textcolor\; \{blue\}\; \{\backslash text\; \{erste\; Binomialkoeffizient\; im\; Zähler\}\}$ ist die Anzahl an Retouren (zwei oder drei) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt sechs Retouren.

Der $\text{zweite Binomialkoeffizient im Z}\ddot{\text{a}}\text{hler}\backslash textcolor\; \{purple\}\; \{\backslash text\; \{zweite\; Binomialkoeffizient\; im\; Zähler\}\}$ ist die Anzahl an Nicht-Retouren (sieben oder acht) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt 19 Nicht-Retouren.

Der $\text{Binomialkoeffizient im Nenner}\backslash textcolor\; \{green\}\; \{\backslash text\; \{Binomialkoeffizient\; im\; Nenner\}\}$ ist die Auswahl der zehn Pakete von den ursprünglichen 25.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder drei der Pakete Retouren sind, beträgt ca. $\mathrm{65,51}\mathrm{\%}65\{,\}51\; \backslash \%$ .