Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen als Hilfsmittel verwendet werden

• die vom Staatsministerium genehmigte Merkhilfe für das Fach Mathematik,

• eine der vom Staatsministerium zugelassenen stochastischen Tabellen,

• eine der vom Staatsministerium für Leistungserhebungen zugelassenen naturwissenschaftlichen Formelsammlungen,

• ein Taschenrechner, der den vom Staatsministerium getroffenen Regelungen

entspricht.

In den letzten Jahren hat der Onlinehandel stark zugenommen. Dies zeigt

sich auch in den Versandzentren der Paketdienstleister. Im Folgenden

werden nur die im Zusammenhang mit dem Onlinehandel verschickten

Pakete in einem dieser Versandzentren betrachtet. Ein Fünftel dieser

Pakete sind Retouren, d. h. Pakete, die zurückgeschickte Waren enthalten.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 200 zufällig
ausgewählten Paketen mehr als ein Viertel Retouren sind.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Aus der Aufgabenstellung kann man folgende Werte auslesen:
$n = 200$ , da $200$ Pakete ausgewählt werden
$k = [51; 200]$ , da $200 \, \cdot \, \frac{1}{4} \, = \, 50$ und man die Wahrscheinlichkeit berechnen muss, dass mehr als ein Viertel Retouren sind
$p = 0,2$ ; da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket eine Retoure ist, $20 %$ beträgt
Es handelt sich hier um eine kumulative Binomialverteilung, da man die Wahrscheinlichkeiten aller Fälle addieren muss, bei denen $x$ zwischen $51$ und $200$ liegt. Man setzt also alle bekannten Werte in die Formel ein:
$\displaystyle \sum_{i=51}^{200}B(200;0{,}2;i) = \sum_{i=51}^{200}{200\choose i} \, \cdot \, 0{,}2^i \, \cdot \, 0{,}8^{200-i} \approx 0{,}0345 = 3{,}45 \%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Viertel der Pakete Retouren sind, beträgt also ca. $3{,}45\%$ .
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Lies die gegebenen Werte aus der Aufgabenstellung aus
Setze sie in die richtige Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
$1-\sum_{i=0}^{8}\begin{pmatrix} 30 \\ i \end{pmatrix}\cdot 0{,}2^i\cdot 0{,}8^{30-i}$
berechnet werden kann, und geben Sie dieses Ereignis an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Erklärung des Terms im Sachzusammenhang
Folgendes kann man aus dem Term herauslesen:
$1- (\text{Rest des Terms})$ : der Term beschreibt das Gegenteil der Wahrscheinlichkeit, die der Rest des Terms beschreibt
$\sum^8_{i=0}$ : der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 0 und 8 Treffer gemacht werden
${30\choose i}: \ \ n = 30$ , insgesamt werden 30 Versuche gemacht
$0{,}2^i: \ \ p = 0{,}2$ ; die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $20 %$
Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass man bei $30$ Versuchen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $20 %$ , mehr als $8$ Treffer macht.
Im Sachzusammenhang beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass unter $30$ zufällig ausgewählten Paketen mehr als $8$ Retouren sind.
Berechnung des Terms
Man berechnet zuerst die kumulative Binomialverteilung:
$\sum_{i=0}^{8}\begin{pmatrix} 30 \\ i \end{pmatrix}\cdot 0{,}2^i\cdot 0{,}8^{30-i} \approx 0{,}8713$
Dann zieht man das Ergebnis von $1$ ab:
$1 - 0,8713 = 0,1287$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $30$ zufällig ausgewählten Paketen mehr als $8$ Retouren sind, beträgt ca. $12{,}87 \%$ .
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Überlege, welche Informationen du aus dem Term herauslesen kannst
Erkläre, was der Term im Sachzusammenhang beschreibt
Berechne das Ergebnis des Terms

Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden

müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens

eine Retoure ist, größer als 90 % ist.

49 % der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten 91 % Kleidung. Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
R: „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure.“
K: „Das Paket enthält Kleidung.“
Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Bestimmen Sie für den Fall, dass das ausgewählte Paket keine Retoure ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Paket Kleidung enthält.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Übertragen der Angaben aus der Aufgabe
Aus der Aufgabenstellung kann man mehrere Angaben herauslesen. Diese trägt man nun in eine Vierfeldertafel ein:
Jetzt kann man die restlichen Werte berechnen:
Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass eine Retoure keine Kleidung enthält
In der Aufgabenstellung steht, "Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten $91 %$ Kleidung".
Umgekehrt müssen von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, $9 %$ keine Kleidung enthalten.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Retoure keine Kleidung enthält, beträgt also $9 %$ .
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Trage die bekannten Werte in eine Vierfeldertafel ein
Berechne die restlichen Werte
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Aus einer Transportkiste mit 25 Paketen, unter denen sechs Retouren sind,
werden nacheinander zehn Pakete zufällig entnommen und an eine Prüfstelle weitergeleitet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten beiden
Pakete Retouren sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Für das erste Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Retoure handelt, $\frac{6}{25}$ . Für das zweite Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit nur noch $\frac{5}{24}$ , da man das erste Paket, das eine Retoure ist, abziehen muss. Multipliziert man diese beiden Werte erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$\displaystyle \dfrac{6}{25} \, \cdot \, \dfrac{5}{24} \, = \, \dfrac{30}{600} \, = \, \dfrac{1}{20} \, = \, 0{,}05$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn ausgewählten Paketen die ersten beiden Pakete Retouren sind, beträgt also $5 %$ .
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Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei
Retouren entnommen werden, (siehe Teilaufgabe e).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypergeometrische Verteilung
Folgende Aussagen und Schlussfolgerungen kann man aus der Aufgabe entnehmen bzw. herleiten:
Hier muss man zwei Wahrscheinlichkeiten addieren: die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau zwei Retouren sind und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zehn Paketen genau drei Retouren sind.
Insgesamt werden zehn Pakete untersucht, das heißt, acht bzw. sieben von ihnen sind keine Retouren.
Die zehn Pakete werden aus 25 Paketen ausgewählt, von denen sechs Retouren sind, das heißt 19 sind keine Retouren.
Die Reihenfolge ist hier nicht wichtig und es wird nicht zurückgelegt, das heißt, man muss die Hypergeometrische Verteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
Die Formel beschreibt die Sachlage wie folgt:
Der $\textcolor {blue} {\text {erste Binomialkoeffizient im Zähler}}$ ist die Anzahl an Retouren (zwei oder drei) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt sechs Retouren.
Der $\textcolor {purple} {\text {zweite Binomialkoeffizient im Zähler}}$ ist die Anzahl an Nicht-Retouren (sieben oder acht) unter den zehn Paketen von den ursprünglich insgesamt 19 Nicht-Retouren.
Der $\textcolor {green} {\text {Binomialkoeffizient im Nenner}}$ ist die Auswahl der zehn Pakete von den ursprünglichen 25.
$\displaystyle \frac{\textcolor {blue}{6\choose 2} \, \cdot \textcolor {purple}{19\choose 8}}{\textcolor {green}{25\choose 10}} \, + \, \frac{\textcolor {blue}{6\choose 3} \, \cdot \, \textcolor {purple}{19\choose 7}} {\textcolor {green}{25\choose 10}} \, \approx \, 0{,}6551$
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder drei der Pakete Retouren sind, beträgt ca. $65{,}51 \%$ .
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Lies die Angaben aus der Aufgabenstellung
Überlege, welches Modell hier angewandt werden kann
Berechne die Wahrscheinlichkeit und formuliere einen Antwortsatz

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ , die

nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 annehmen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten $P (X = 4)$ und $P (X = 5)$ sowie der Erwartungswert

und die Varianz von $X$ sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich

das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_{1}, p_{2}$ und $p_{3}$ berechnet werden können.

I $p_1+p_2+p_3=0{,}65$

II $p_1+2p_2+3p_3=1{,}45$

III $4p_1+p_2=0{,}6$

Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von $X$ beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Der Erwartungswert

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3 + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3 + 0{,}8 + 0{,}75$	$\displaystyle -0{,}8 -0{,}75$
$\displaystyle E(X) - 0{,}8 - 0{,}75$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3$
$\displaystyle E(X) - 1{,}55$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3$
	↓	Setze mit Gleichung II) aus der Aufgabenstellung gleich
$\displaystyle E(X) - 1{,}55$	$=$	$\displaystyle 1{,}45$	$\displaystyle +1{,}55$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle 3$

Die Varianz

Der Erwartungswert $E (X)$ wird auch durch das Symbol $μ \mu$ dargestellt.

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (1-\mu)^2 + p_2 \cdot (2-\mu)^2 + p_3 \cdot (3-\mu)^2 + p_4 \cdot (4-\mu)^2 + p_5 \cdot (5-\mu)^2$
	↓	für $μ \mu$ den vorher berechneten Wert 3 einsetzen
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (1-3)^2 + p_2 \cdot (2-3)^2 + p_3 \cdot (3-3)^2 + p_4 \cdot (4-3)^2 + p_5 \cdot (5-3)^2$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (-2)^2 + p_2 \cdot (-1)^2 + p_3 \cdot (0)^2 + p_4 \cdot (1)^2 + p_5 \cdot (2)^2$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot 4 + p_2 \cdot 1 + p_3 \cdot 0 + p_4 \cdot 1 + p_5 \cdot 4$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + p_4 + 4 \, p_5$

Jetzt setzt man die gegebenen Werte für $p_{4}$ und $p_{5}$ ein:

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}2 + 0{,}6$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}8$
$\displaystyle V(X) - 0{,}8$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2$
	↓	Mit der Gleichung III) aus der Aufgabenstellung gleichsetzen
$\displaystyle V(X) - 0{,}8$	$=$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle + \, 0{,}8$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 1{,}4$

Für das Gleichungssystem wurde für den Erwartungswert der Wert $3$ verwendet und für die Varianz der Wert $1,4$ .

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$\displaystyle P(X\ge1)$	$>$	$\displaystyle 0{,}9$
	↓	Formuliere um in die Gegenwahrscheinlichkeit
$\displaystyle 1-P (X = 0)$	$>$	$\displaystyle 0{,}9$
$\displaystyle 1-\bigg({n \choose 0} \, \cdot 0{,}2^0 \, \cdot \, 0{,}8^{n-0}\bigg)$	$>$	$\displaystyle 0{,}9$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle 1-(1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 0{,}8^n)$	$>$	$\displaystyle 0{,}9$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}8^n$	$>$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle - \, 0{,}9$
$\displaystyle 1 \, - \, 0{,}8^n \, - \, 0{,}9$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + \, 0{,}8^n$
$\displaystyle 0{,}1$	$>$	$\displaystyle 0{,}8^n$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle \ln \, (0{,}1)$	$>$	$\displaystyle ln \, (0{,}8^n)$
	↓	Man kann das n vor den $\ln ()$ ziehen, da hier die Logarithmusregeln gelten: Rechnen mit Logarithmus
$\displaystyle \ln \, (0{,}1)$	$>$	$\displaystyle n \, \cdot \, \ln \, (0{,}8)$	$\displaystyle / \,ln \, (0{,}8)$
	↓	Hier muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen, da durch eine negative Zahl dividiert wird
$\displaystyle \frac {\ln \, (0{,}1)}{\ln \, (0{,}8)}$	$<$	$\displaystyle n$
	↓	Berechne und runde
$\displaystyle 10{,}319$	$<$	$\displaystyle n$

Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Erklärung des Terms im Sachzusammenhang

Berechnung des Terms

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Übertragen der Angaben aus der Aufgabe

Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass eine Retoure keine Kleidung enthält

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Der Erwartungswert

Die Varianz