Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ , die

nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 annehmen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten $P (X = 4)$ und $P (X = 5)$ sowie der Erwartungswert

und die Varianz von $X$ sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich

das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_{1}, p_{2}$ und $p_{3}$ berechnet werden können.

I $p_{1} + p_{2} + p_{3} = 0,65$

II $p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3} = 1,45$

III $4 p_{1} + p_{2} = 0,6$

Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von $X$ beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$E (X)$	$=$	$1 \cdot p_{1} + 2 \cdot p_{2} + 3 \cdot p_{3} + 4 \cdot p_{4} + 5 \cdot p_{5}$
$E (X)$	$=$	$p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3} + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,15$
$E (X)$	$=$	$p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3} + 0,8 + 0,75$	$- 0,8 - 0,75$
$E (X) - 0,8 - 0,75$	$=$	$p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3}$
$E (X) - 1,55$	$=$	$p_{1} + 2 p_{2} + 3 p_{3}$
	↓	Setze mit Gleichung II) aus der Aufgabenstellung gleich
$E (X) - 1,55$	$=$	$1,45$	$+ 1,55$
$E (X)$	$=$	$3$

$V (X)$	$=$	$p_{1} \cdot (1 - μ)^{2} + p_{2} \cdot (2 - μ)^{2} + p_{3} \cdot (3 - μ)^{2} + p_{4} \cdot (4 - μ)^{2} + p_{5} \cdot (5 - μ)^{2}$
	↓	für $μ$ den vorher berechneten Wert 3 einsetzen
$V (X)$	$=$	$p_{1} \cdot (1 - 3)^{2} + p_{2} \cdot (2 - 3)^{2} + p_{3} \cdot (3 - 3)^{2} + p_{4} \cdot (4 - 3)^{2} + p_{5} \cdot (5 - 3)^{2}$
$V (X)$	$=$	$p_{1} \cdot (- 2)^{2} + p_{2} \cdot (- 1)^{2} + p_{3} \cdot (0)^{2} + p_{4} \cdot (1)^{2} + p_{5} \cdot (2)^{2}$
$V (X)$	$=$	$p_{1} \cdot 4 + p_{2} \cdot 1 + p_{3} \cdot 0 + p_{4} \cdot 1 + p_{5} \cdot 4$
$V (X)$	$=$	$4 p_{1} + p_{2} + p_{4} + 4 p_{5}$

$V (X)$	$=$	$4 p_{1} + p_{2} + 0,2 + 4 \cdot 0,15$
$V (X)$	$=$	$4 p_{1} + p_{2} + 0,2 + 0,6$
$V (X)$	$=$	$4 p_{1} + p_{2} + 0,8$
$V (X) - 0,8$	$=$	$4 p_{1} + p_{2}$
	↓	Mit der Gleichung III) aus der Aufgabenstellung gleichsetzen
$V (X) - 0,8$	$=$	$0,6$	$+ 0,8$
$V (X)$	$=$	$1,4$

Der Erwartungswert

Die Varianz