Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ , die

nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 annehmen kann.

Die Wahrscheinlichkeiten $P(X= 4 )$ und $P(X=5)$ sowie der Erwartungswert

und die Varianz von $X$ sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich

das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2$ und $p_3$ berechnet werden können.

I $p_1+p_2+p_3=0{,}65$

II $p_1+2p_2+3p_3=1{,}45$

III $4p_1+p_2=0{,}6$

Ermitteln Sie, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von $X$ beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Der Erwartungswert

$\displaystyle E\left(X\right)$	$=$	$\displaystyle 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 + 4 \cdot p_4 + 5 \cdot p_5$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3 + 4 \cdot 0{,}2 + 5 \cdot 0{,}15$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3 + 0{,}8 + 0{,}75$	$\displaystyle -0{,}8 -0{,}75$
$\displaystyle E(X) - 0{,}8 - 0{,}75$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3$
$\displaystyle E(X) - 1{,}55$	$=$	$\displaystyle p_1 + 2 \, p_2 + 3 \, p_3$
	↓	Setze mit Gleichung II) aus der Aufgabenstellung gleich
$\displaystyle E(X) - 1{,}55$	$=$	$\displaystyle 1{,}45$	$\displaystyle +1{,}55$
$\displaystyle E(X)$	$=$	$\displaystyle 3$

Die Varianz

Der Erwartungswert $E(X)$ wird auch durch das Symbol $\mu$ dargestellt.

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (1-\mu)^2 + p_2 \cdot (2-\mu)^2 + p_3 \cdot (3-\mu)^2 + p_4 \cdot (4-\mu)^2 + p_5 \cdot (5-\mu)^2$
	↓	für $\mu$ den vorher berechneten Wert 3 einsetzen
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (1-3)^2 + p_2 \cdot (2-3)^2 + p_3 \cdot (3-3)^2 + p_4 \cdot (4-3)^2 + p_5 \cdot (5-3)^2$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot (-2)^2 + p_2 \cdot (-1)^2 + p_3 \cdot (0)^2 + p_4 \cdot (1)^2 + p_5 \cdot (2)^2$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle p_1 \cdot 4 + p_2 \cdot 1 + p_3 \cdot 0 + p_4 \cdot 1 + p_5 \cdot 4$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + p_4 + 4 \, p_5$

Jetzt setzt man die gegebenen Werte für $p_4$ und $p_5$ ein:

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}15$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}2 + 0{,}6$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2 + 0{,}8$
$\displaystyle V(X) - 0{,}8$	$=$	$\displaystyle 4 \,p_1 + p_2$
	↓	Mit der Gleichung III) aus der Aufgabenstellung gleichsetzen
$\displaystyle V(X) - 0{,}8$	$=$	$\displaystyle 0{,}6$	$\displaystyle + \, 0{,}8$
$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle 1{,}4$

Für das Gleichungssystem wurde für den Erwartungswert der Wert $3$ verwendet und für die Varianz der Wert $1{,}4$ .

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