Bestimmen Sie $D_{h}D\_h$, prüfen Sie $hh$ auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der Definitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücken.

Die Funktion $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2+3x+3}{x+2}}f:\; x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{x^2+3x+3\}\{x+2\}$ mit $D_{f}D\_f$ =$\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ \ {–2} ist die stetige Fortsetzung der Funktion $hh$ (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit $G_{f}G\_f$ bezeichnet.

1) Zeigen Sie, dass sich die Gleichung der Funktion $ff$ auch in der Form $f(x)=x+1+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}f(x)=x+1+\backslash dfrac\{1\}\{x+2\}$ darstellen lässt und geben Sie jeweils die Gleichung und die Art aller Asymptoten von $G_{f}G\_f$ an.

2) Untersuchen Sie, ob sich der Graph $G_{f}G\_f$ für $x\mapsto \mathrm{\infty }x\backslash mapsto\; \backslash infty$ von oben oder von unten der schiefen Asymptote annähert.

3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}G\_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{x^2+4x+3\}\{(x+2)^2\}$ ]

4) Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ und seine Asymptoten für $-4\le x\le 5-4\backslash le\; x\backslash le\; 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

5) Berechnen Sie das bestimmte Integral ${\int }_0^4((f(x)-(x+1))\mathrm{d}x\backslash int\_\{0\}^\{4\}(\; (f(x)-(x+1))\; \backslash mathrm\{d\}x$ auf zwei Nachkommastellen gerundet und schraffieren Sie die zugehörige Fläche im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.b.4.