Bestimmen Sie $D_h$, prüfen Sie $h$ auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der Definitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücken.

Die Funktion $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2+3x+3}{x+2}}$ mit $D_f$ =$ℝ$ \ {–2} ist die stetige Fortsetzung der Funktion $h$ (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit $G_f$ bezeichnet.

1) Zeigen Sie, dass sich die Gleichung der Funktion $f$ auch in der Form $f(x)=x+1+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ darstellen lässt und geben Sie jeweils die Gleichung und die Art aller Asymptoten von $G_f$ an.

2) Untersuchen Sie, ob sich der Graph $G_f$ für $x\mapsto \infty$ von oben oder von unten der schiefen Asymptote annähert.

3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}}$ ]

4) Zeichnen Sie den Graphen $G_f$ und seine Asymptoten für $-4\le x\le 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

5) Berechnen Sie das bestimmte Integral ${\int }_0^4((f(x)-(x+1))\mathrm{d}x$ auf zwei Nachkommastellen gerundet und schraffieren Sie die zugehörige Fläche im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.b.4.