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Das Haber-Bosch-Verfahren dient zur Herstellung von Ammoniak, der wesentliche Ausgangsstoff zur Düngemittelproduktion ist und deshalb eine außerordentliche Bedeutung für die Nahrungsversorgung der Weltbevölkerung besitzt. Die Ammoniakausbeute beim Haber-Bosch-Verfahren ist temperatur- und druckabhängig. Bei einem Druck von 300 bar und einem Temperaturbereich von 200°C≤T≤700°C200°C\le T\le 700°C besteht eine funktionale Abhängigkeit zwischen der Ammoniakausbeute AA in Prozent und der Temperatur TT in C°C°. Die Funktion AA mit der Gleichung A(T)=720072+e0,0106TA(T)=\dfrac{7200}{72+e^{0{,}0106T}} und der Definitionsmenge DA=[200;700]D_A=[200;700] beschreibt näherungsweise diesen Zusammenhang. Auf die Temperatureinheit C°C° und das Prozentzeichen % kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Die Temperaturangaben sind auf ganze Zahlen zu runden.

  1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion AA.

    [ Mögliches Teilergebnis: A′(T)=−76,32e0,0106T(72+e0,0106T)2]A'(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}}{(72+e^{0{,}0106T})^2}]

  2. Die folgende Berechnung der zweiten Ableitung enthält einen Fehler. Benennen Sie den Fehler in Worten und geben Sie den Term der zweiten Ableitung richtig an.

    A′′(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72+e0,0106)2−(−76,32e0,0106T)⋅2⋅(72+e0,0106)⋅e0,0106T⋅0,0106(72+e0,0106T)2A''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72+e^{0{,}0106})^2-(-76{,}32e^{0{,}0106T})\cdot 2\cdot (72+e^{0{,}0106})\cdot e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106}{(72+e^{0{,}0106T})^2}

    A′′(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72+e0,0106)−(−76,32e0,0106T)⋅2⋅(72+e0,0106)⋅e0,0106T⋅0,010672+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72+e^{0{,}0106})-(-76{,}32e^{0{,}0106T})\cdot 2\cdot (72+e^{0{,}0106})\cdot e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106}{72+e^{0{,}0106T}}

    A′′(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅((72+e0,0106)−2⋅e0,0106)72+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot ((72+e^{0{,}0106})- 2\cdot e^{0{,}0106})}{72+e^{0{,}0106T}}

    A′′(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72−e0,0106)72+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72-e^{0{,}0106})}{72+e^{0{,}0106T}}

  3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion A für den angegebenen Temperaturbereich in ein geeignetes Koordinatensystem.

    (Maßstab: 1 cm50C°1 \cm \mathop{\widehat{=}} 50C° auf der Abszisse, 1cm10%1 cm \mathop{\widehat{=}} 10\% auf der Ordinate).

    Lesen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion AAnäherungsweise aus der Zeichnung ab und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.