Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe R3

Betrachtet wird das Quadrat, das folgende Eigenschaften besitzt:

Das Quadrat liegt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
Ein Eckpunkt liegt im Koordinatenursprung.
Der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats liegt

auf der Geraden g mit $\vec x = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ ,

und auf der Geraden $h ℎ$ mit $\vec x = \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ , $\mu \in \mathbb{R}$ .

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen und berechnen Sie den Flächeninhalt des Quadrats. [5 BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen

Berechne den Schnittpunkt $M$ der beiden Geraden.

$g\cap h$ :

$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\3\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$

Aus Gleichung $\mathrm{(II)}$ folgt: $3\cdot \lambda=3\;\Rightarrow\;$ $\lambda =1$

Aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ folgt: $0=3+\mu\;\Rightarrow\;$ $\mu=-3$

Kontrolle in Gleichung $\mathrm{(I)}$ : $2\cdot1=-1+(-3)\cdot (-1)=2\;\checkmark$

Damit folgt für den Vektor $\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;M(3|4|0)$

Berechne den Flächeninhalt des Quadrats

$\Big\vert\overrightarrow{OM}\Big\vert=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Die Diagonale des Quadrates ist dann $d=2\cdot 5=10$ und die Seitenlänge $a$ des Quadrates ist $a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}$ :

$a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;A=a^2=\left(\dfrac{10}{\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{100}{2}=50$

Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt $50\;\text{FE}$ .

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