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In hochwertige Edelstahlfläschchen

sollen jeweils $100 \cm^3$ Parfüm abgefüllt werden. Die Form des Fläschchens ist durch einen geraden Kreiszylinder

mit einer oben aufgesetzten Halbkugel vorgegeben. Die Aussparung für den Sprühkopf wird nicht berücksichtigt. Für die Oberfläche $O$ (in $\cm^2$ ) des Fläschchens in Abhängigkeit von seinem Radius $r$ (in $cm$ ) erhält man die Funktionsgleichung $O(r)=\dfrac{5}{3}\pi r^2+\dfrac{200}{r}$ mit der Definitionsmenge $D_O=]0;3{,}5]$ . Auf die Mitführung von Einheiten wird verzichtet. Runden Sie gegebenenfalls Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

Bestimmen Sie das Verhalten von $O (r)$ für $r\rightarrow 0$ .
Berechnen Sie den Radius $r$ , für den die Oberfläche $O$ den absolut kleinsten Wert annimmt, und bestätigen Sie, dass $O_{\text{min}}\approx112{,}23(\cm^2)$ gilt.
Erstellen Sie für $1\le r\le3{,}5$ eine Wertetabelle mit der Schrittweite $∆ r = 0,5$ . Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $O$ in ein Koordinatensystem im angegebenen Bereich. Wählen Sie hierfür einen geeigneten Maßstab.
Der Parfümhersteller möchte aus optischen Gründen den Radius $r = 2 (\text{cm})$ wählen. Berechnen Sie dafür den Mehrbedarf an Edelstahlblech im Vergleich zu $O_{\text{min}}$ in Prozent. Begründen Sie stichhaltig, dass für alle Radien mit $r\in[ 2; 3{,}5]$ weniger als $10 %$ Mehrbedarf an Blech im Vergleich zu $O_{\text{min}}$ benötigt werden.