Ermitteln Sie die Art der beiden Definitionslücken.

Zeigen Sie, dass gilt: $(x^3-3x^2+4):(x-2)=x^2-x-2(x^3-3x^2+4):(x-2)=x^2-x-2$. Untersuchen Sie die Funktion $ff$ auf Nullstellen.

Im Folgenden wird die Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}x+1+{\displaystyle \frac{2}{x-3}}g:x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}x+1+\backslash dfrac\{2\}\{x-3\}$ mit der Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}D\_f=\backslash mathbb\{R\}$ \{2;3}

(1) Stellen Sie durch geeignete Umformung den Zusammenhang zwischen den Funktionen $ff$ aus 1 und $gg$ aus 1.3.c) her. Geben Sie die Bedeutung der Funktion $gg$ für die Funktion $ff$ an.

(2) Geben Sie die Nullstellen von $gg$ und die Gleichungen sowie die Art der Asymptoten des Graphen $G_{g}G\_g$ an.

(3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ und geben Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen $G_{g}G\_g$ an.

[ mögliches Teilergebnis: $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{(x-3{)}^2}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}-\backslash dfrac\{2\}\{(x-3)^2\}$ ]

(4) Zeichnen Sie $G_{g}G\_g$ mit seinen Asymptoten für $-2\le x\le 8-2\; \le \; x\; \le \; 8$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

(5) Bestimmen Sie die Wertemenge der Ableitungsfunktion $g^{\mathrm{\prime }}g\; \text{'}$.

(6) Der Graph $G_{g}G\_g$ schließt mit der $xx$-Achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl dessen Flächeninhalts.