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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x↩15(x4−8x3+18x2)f: x\mapsto \dfrac{1}{5}(x^4-8x^3+18x^2) mit der Definitionsmenge Df=RD_f=\mathbb{R}. Der Graph wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f bezĂŒglich des Koordinatensystems und geben Sie das Verhalten von f(x)f(x) fĂŒr x→−∞x\rightarrow-\infty und fĂŒr x→∞x\rightarrow\infty an.

    2. Zeigen Sie, dass die Funktion ff genau eine Nullstelle besitzt und geben Sie diese samt Vielfachheit an.

    3. BegrĂŒnden Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus 1.a und 1.b, dass an der Stelle x=0x=0 ein relatives und zugleich absolutes Minimum von ff vorliegen muss.

    4. Zeigen Sie, dass an den Stellen x=1x=1 und x=3x=3 Wendestellen von ff liegen. Ermitteln Sie auch die Koordinaten der zugehörigen Punkte und welcher der beiden Punkte ein Terrassenpunkt ist.

    5. Die Wendepunkte aus Teilaufgabe 1.d legen die Gerade GgG_g fest. Ermitteln Sie deren Glei-chung.

    6. Zeichnen Sie die Graphen GfG_f und GgG_g unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich −1≀x≀4,5-1\le x\le 4{,}5 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      Maßstab: 1 LE = 1 cm.

    7. Die Graphen GfG_f und GgG_g schließen drei endliche FlĂ€chenstĂŒcke ein. Schraffieren Sie das mittlere FlĂ€chenstĂŒck in Ihrer Zeichnung von Aufgabe 1.f und berechnen Sie die Maßzahl seines FlĂ€cheninhaltes.

  2. 2

    Gegeben ist der Graph der 1. Ableitung hâ€Čh' der Funktion hh mit der Definitionsmenge Dh=RD_h=\mathbb{R}.

    Bild

    BestĂ€tigen oder widerlegen Sie begrĂŒndet folgende Aussagen:

    a) GhG_h hat einen Tiefpunkt bei x=1x=1 .

    b) GhG_h hat einen Tiefpunkt bei x=4x=4.

    c) GhG_h hat einen Wendepunkt bei x=2x=2.

    d) Die Tangente an den Graphen GhG_h in x=2x=2 verlÀuft parallel zur Geraden ee mit der Gleichung y=3x+7y=3x+7 .

  3. 3

    Gegeben sind die reellen Funktionen ka:x↩19(x4−2ax3)k_a:x\mapsto \dfrac{1}{9}(x^4-2ax^3) mit x,a∈Rx,a\in \mathbb{R} und a≄0a\ge 0. Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte der zugehörigen Graphen GkaG_{k_a} in AbhĂ€ngigkeit von aa.

  4. 4

    Auf der Außenwand eines neuen Hallenbades soll dessen Logo, eine Welle, abgebildet werden. Der Architekt möchte ein großes Fenster in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe Skizze ∆PQR∆PQR) innerhalb der Welle anbringen.

    Bild

    Das Fenster soll am Punkt P(2∣0)P(2 | 0) beginnen. Seine Breite | PQPQ | soll mindestens 5 m5\m und höchstens 10 m10 \m betragen. Der Punkt RR soll auf der oberen Begrenzungslinie (Graph GwG_w) der Welle liegen, welche durch die Funktion w:x↩−0,01x3+0,15x2w:x\mapsto -0{,}01x^3+0{,}15x^2 beschrieben wird. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden.

    1. Zeigen Sie, dass die Maßzahl AA der FlĂ€che des Fensters abhĂ€ngig von der xx-Koordinate des Punktes QQ durch die Funktionsgleichung A(x)=0,005(−x4+17x3−30x2)A(x)=0{,}005(-x^4+17x^3-30x^2) beschrieben wird, und geben Sie fĂŒr die Funktion AA einen Definitionsbereich DAD_A an, der den Vorgaben von Aufgabe 4 entspricht.

    2. Der Architekt möchte das Hallenbad möglichst hell gestalten. Aus diesem Grund soll die FlĂ€che des Fensters möglichst groß sein. Bestimmen Sie die xx-Koordinate des Punktes QQ, fĂŒr welche die Maßzahl der FlĂ€che AA maximal wird. Berechnen Sie fĂŒr diesen Fall Breite, Höhe und FlĂ€che des Fensters. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der FensterflĂ€che an der LogoflĂ€che, wenn diese 36 m236 \m^2 betrĂ€gt. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.


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