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đ PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern
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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.
- 1
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von bezĂŒglich des Koordinatensystems und geben Sie das Verhalten von fĂŒr und fĂŒr an.
Zeigen Sie, dass die Funktion genau eine Nullstelle besitzt und geben Sie diese samt Vielfachheit an.
BegrĂŒnden Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus 1.a und 1.b, dass an der Stelle ein relatives und zugleich absolutes Minimum von vorliegen muss.
Zeigen Sie, dass an den Stellen und Wendestellen von liegen. Ermitteln Sie auch die Koordinaten der zugehörigen Punkte und welcher der beiden Punkte ein Terrassenpunkt ist.
Die Wendepunkte aus Teilaufgabe 1.d legen die Gerade fest. Ermitteln Sie deren Glei-chung.
Zeichnen Sie die Graphen und unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
MaĂstab: 1 LE = 1 cm.
Die Graphen und schlieĂen drei endliche FlĂ€chenstĂŒcke ein. Schraffieren Sie das mittlere FlĂ€chenstĂŒck in Ihrer Zeichnung von Aufgabe 1.f und berechnen Sie die MaĂzahl seines FlĂ€cheninhaltes.
- 2
Gegeben ist der Graph der 1. Ableitung der Funktion mit der Definitionsmenge .
BestĂ€tigen oder widerlegen Sie begrĂŒndet folgende Aussagen:
a) hat einen Tiefpunkt bei .
b) hat einen Tiefpunkt bei .
c) hat einen Wendepunkt bei .
d) Die Tangente an den Graphen in verlÀuft parallel zur Geraden mit der Gleichung .
- 3
Gegeben sind die reellen Funktionen mit und . Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte der zugehörigen Graphen in AbhÀngigkeit von .
- 4
Auf der AuĂenwand eines neuen Hallenbades soll dessen Logo, eine Welle, abgebildet werden. Der Architekt möchte ein groĂes Fenster in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe Skizze ) innerhalb der Welle anbringen.
Das Fenster soll am Punkt beginnen. Seine Breite | | soll mindestens und höchstens betragen. Der Punkt soll auf der oberen Begrenzungslinie (Graph ) der Welle liegen, welche durch die Funktion beschrieben wird. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden.
Zeigen Sie, dass die MaĂzahl der FlĂ€che des Fensters abhĂ€ngig von der -Koordinate des Punktes durch die Funktionsgleichung beschrieben wird, und geben Sie fĂŒr die Funktion einen Definitionsbereich an, der den Vorgaben von Aufgabe 4 entspricht.
Der Architekt möchte das Hallenbad möglichst hell gestalten. Aus diesem Grund soll die FlĂ€che des Fensters möglichst groĂ sein. Bestimmen Sie die -Koordinate des Punktes , fĂŒr welche die MaĂzahl der FlĂ€che maximal wird. Berechnen Sie fĂŒr diesen Fall Breite, Höhe und FlĂ€che des Fensters. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der FensterflĂ€che an der LogoflĂ€che, wenn diese betrĂ€gt. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
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