A II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{1}{5}(x^4-8x^3+18x^2)$ mit der Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}$ . Der Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}$ bezüglich des Koordinatensystems und geben Sie das Verhalten von $f (x)$ für $x\rightarrow-\infty$ und für $x\rightarrow\infty$ an.
2. Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ genau eine Nullstelle besitzt und geben Sie diese samt Vielfachheit an.
3. Begründen Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus 1.a und 1.b, dass an der Stelle $x = 0$ ein relatives und zugleich absolutes Minimum von $f$ vorliegen muss.
4. Zeigen Sie, dass an den Stellen $x = 1$ und $x = 3$ Wendestellen von $f$ liegen. Ermitteln Sie auch die Koordinaten der zugehörigen Punkte und welcher der beiden Punkte ein Terrassenpunkt ist.
5. Die Wendepunkte aus Teilaufgabe 1.d legen die Gerade $G_{g}$ fest. Ermitteln Sie deren Glei-chung.
6. Zeichnen Sie die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich $-1\le x\le 4{,}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  Maßstab: 1 LE = 1 cm.
7. Die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ schließen drei endliche Flächenstücke ein. Schraffieren Sie das mittlere Flächenstück in Ihrer Zeichnung von Aufgabe 1.f und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhaltes.
2
Gegeben ist der Graph der 1. Ableitung $h^{'}$ der Funktion $h$ mit der Definitionsmenge $D_h=\mathbb{R}$ .
Bestätigen oder widerlegen Sie begründet folgende Aussagen:
a) $G_{h}$ hat einen Tiefpunkt bei $x = 1$ .
b) $G_{h}$ hat einen Tiefpunkt bei $x = 4$ .
c) $G_{h}$ hat einen Wendepunkt bei $x = 2$ .
d) Die Tangente an den Graphen $G_{h}$ in $x = 2$ verläuft parallel zur Geraden $e$ mit der Gleichung $y = 3 x + 7$ .
3
Gegeben sind die reellen Funktionen $k_a:x\mapsto \dfrac{1}{9}(x^4-2ax^3)$ mit $x,a\in \mathbb{R}$ und $a\ge 0$ . Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte der zugehörigen Graphen $G_{k_a}$ in Abhängigkeit von $a$ .
4
Auf der Außenwand eines neuen Hallenbades soll dessen Logo, eine Welle, abgebildet werden. Der Architekt möchte ein großes Fenster in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe Skizze $∆ P Q R$ ) innerhalb der Welle anbringen.
Das Fenster soll am Punkt $P (2 ∣ 0)$ beginnen. Seine Breite | $P Q$ | soll mindestens $5 m$ und höchstens $10 \m$ betragen. Der Punkt $R$ soll auf der oberen Begrenzungslinie (Graph $G_{w}$ ) der Welle liegen, welche durch die Funktion $w:x\mapsto -0{,}01x^3+0{,}15x^2$ beschrieben wird. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden.
1. Zeigen Sie, dass die Maßzahl $A$ der Fläche des Fensters abhängig von der $x$ -Koordinate des Punktes $Q$ durch die Funktionsgleichung $A(x)=0{,}005(-x^4+17x^3-30x^2)$ beschrieben wird, und geben Sie für die Funktion $A$ einen Definitionsbereich $D_{A}$ an, der den Vorgaben von Aufgabe 4 entspricht.
2. Der Architekt möchte das Hallenbad möglichst hell gestalten. Aus diesem Grund soll die Fläche des Fensters möglichst groß sein. Bestimmen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $Q$ , für welche die Maßzahl der Fläche $A$ maximal wird. Berechnen Sie für diesen Fall Breite, Höhe und Fläche des Fensters. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der Fensterfläche an der Logofläche, wenn diese $36 \m^2$ beträgt. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

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