A II - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto \frac{1}{5} (x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2})$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ$ . Der Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}$ bezüglich des Koordinatensystems und geben Sie das Verhalten von $f (x)$ für $x \to - \infty$ und für $x \to \infty$ an.
Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ genau eine Nullstelle besitzt und geben Sie diese samt Vielfachheit an.
Begründen Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus 1.a und 1.b, dass an der Stelle $x = 0$ ein relatives und zugleich absolutes Minimum von $f$ vorliegen muss.
Zeigen Sie, dass an den Stellen $x = 1$ und $x = 3$ Wendestellen von $f$ liegen. Ermitteln Sie auch die Koordinaten der zugehörigen Punkte und welcher der beiden Punkte ein Terrassenpunkt ist.
Die Wendepunkte aus Teilaufgabe 1.d legen die Gerade $G_{g}$ fest. Ermitteln Sie deren Glei-chung.
Zeichnen Sie die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich $- 1 \leq x \leq 4,5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab: 1 LE = 1 cm.
Die Graphen $G_{f}$ und $G_{g}$ schließen drei endliche Flächenstücke ein. Schraffieren Sie das mittlere Flächenstück in Ihrer Zeichnung von Aufgabe 1.f und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhaltes.

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