S II

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1
Bei einem internationalen Fußballwettbewerb überlegt der Veranstalter schon im Vorfeld, aus welchen Gruppen sich die Besucher in den Stadien zusammensetzen. Man rechnet mit $60$ % fanatische Anhänger ( $F$ ) der jeweiligen Mannschaften. Die restlichen Besucher sind neutral ( $N$ ). Die Hälfte aller Personen inden Stadien wird wohl Alkohol trinken ( $A$ ). Ohne Alkoholgenuss geht man bei $2$ % der Besucher von einer gewissen Gewaltbereitschaft (G) aus. Durch Alkoholgenuss verfünffacht sich diese Wahrscheinlichkeit. Zu welcher der verschiedenen Kategorien eine beliebig herausgegriffene Person im Stadion zählt, wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse.
2. Es werden folgende Ereignisse definiert:
  $E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Besucher trinkt keinen Alkohol.“
  $E_{2}$ : „Die Person ist fanatisch und friedlich oder neutral und gewaltbereit.“
  Geben Sie diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an und prüfen Sie sie auf stochastische Unabhängigkeit.
3. Geben Sie in Mengenschreibweise ein Ereignis $E_{3}$ an, das unvereinbar mit $E_{1}$ ist und dessen Wahrscheinlichkeit $42$ % von $P (E_{1})$ beträgt.
2
Während der gesamten Spiele sind $400$ Fußballer im Einsatz. $80$ % von ihnen werden er-fahrungsgemäß in Zweikämpfen in regelwidrigen Körperkontakt mit dem Gegner kommen ( $K$ ). $180$ Spieler bekommen eine gelbe Karte als Verwarnung ( $V$ ), zwei Drittel davon im Zu-sammenhang mit einem unerlaubten Körperkontakt. Stellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_4=\overline{K\cup\overline V}$ und interpretieren Sie $E_{4}$ im Sinne der vorliegenden Thematik.
3
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Tordifferenz bei den Spielergebnissen im Turnier an. Unter Vernachlässigung von ordifferenzen größer als fünf ergibt sich mit den Parametern $a, b \in\mathbb{R}$ folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
1. Berechnen Sie die Parameter a und b, wenn $P(X\le 2)=0{,}84$ gilt, und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm dar.
  [ Teilergebnis: $a = 0,14$ ]
2. Berechnen Sie mit den Werten für $a$ und $b$ aus Aufgabe 3.a, mit welcher Wahrscheinlich-keit die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
4
Beim Elfmeterschießen erzielen die Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 0,75$ tat-sächlich ein Tor. Es werden nun $10$ Elfmeter betrachtet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
$E_{5}$ : „Mehr als $3$ , aber weniger als $8$ Schützen erzielen ein Tor.“
$E_{6}$ : „Nur die ersten $4$ oder nur die letzten $4$ Elfmeter ergeben ein Tor.“
5
Die Fehlerquote bei Entscheidungen der eingesetzten Schiedsrichter soll höchstens $12,5$ % betragen. Bei einem der jüngeren Schiedsrichter vermutet man aber einen höheren Anteil (Gegenhypothese). In nächster Zeit werden deshalb $200$ seiner Entscheidungen auf Fehler hin untersucht.
1. Geben Sie zu diesem Test Testgröße und Nullhypothese an und ermitteln Sie den größt-möglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5$ %-Niveau.
2. Erläutern Sie im Sachzusammenhang, worin bei iesem Test der Fehler 2. Art besteht.

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