Ermittle das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern von $D_f$

Betrachtung des linken Randes des Definitionsbereichs: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)}$$

Rechtsseitiger Grenzwert: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))}$$

Dabei gilt: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1-x}{x}}=\infty }$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$ (siehe Abbildung).

Dann erhält man: $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$$

Betrachtung des rechten Randes des Definitionsbereichs: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)}$$

Dabei gilt: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1-x}{x}}=-1}$$ und $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\arctan \left({\displaystyle \frac{1-x}{x}}\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$$ (siehe Abbildung).

Dann erhält man: $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right))={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$

Ergebnis:

Verhalten am linken Rand von $D_f:f(x)\mapsto -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

Verhalten am rechten Rand von $D_f:f(x)\mapsto {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Berechne die Nullstelle von $f$

Es ist $f(x)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)$.

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f(x)=0$.

$0={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)\Rightarrow {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\arctan \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\end{array}\right)$

$\arctan (1)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1-x}{x}}=1\Rightarrow 1-x=x\Rightarrow x=\mathrm{0,5}$

Die Nullstelle von $f$ ist $x=\mathrm{0,5}$.