Teil 2, Analysis I

Bestimme das Monotonieverhalten des Graphen von $F$

Es ist $f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}+e^x}{e^{2x}+1}}$.

Der Nenner ist für alle $x\in ℝ$ größer null.

Der Zähler ist die Summe zweier e-Funktionen und damit auch für alle $x\in ℝ$ größer null $\Rightarrow f(x)>0$ für alle $x\in ℝ$.

Nun gilt:

$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow F^{\prime }(x)>0$ für alle $x\in ℝ$.

Demnach ist $F(x)$ streng monoton steigend für alle $x\in ℝ$.

Gib nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die $x$- und die $y$-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von $F$ näherungsweise an und begründe jeweils Deine Antwort

Die Wendepunkte einer Integralfunktion $F$ liegen dort, wo sich die Krümmung der zu integrierenden Funktion $f$ ändert, also dort, wo die zweite Ableitung der Integralfunktion $F$ null wird und ihr Vorzeichen wechselt.

$F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$

$F^{\prime \prime }(x)=0\Rightarrow f^{\prime }(x)=0$ liefert die Extremstellen von $G_f$.

Der Abbildung kann man die Koordinaten des Hochpunktes entnehmen.

Sie sind ungefähr $HP(\mathrm{0,9}|\mathrm{1,2})$.

Der Wendepunkt von $G_F$ hat dann ebenfalls diese Koordinaten $WP(\mathrm{0,9}|\mathrm{1,2})$.

Bestimme eine integralfreie Darstellung von $F(x)$

Beachte $e^{2t}=(e^t{)}^2=e^t\cdot e^t$.

Zerlege das Integral in die Summe von 2 Integralen.

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{2t}+e^t}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t+{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^t}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t}}}$$

Für das erste Integral gilt:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^t}{e^{2t}+1}}\cdot e^t\mathrm{d}t}}$$

Es ist $z=e^t$. Dann folgt mit $\mathrm{d}z=e^t\cdot \mathrm{d}t$

$$\Rightarrow {\displaystyle \int \underset{{\displaystyle \frac{z}{z^2+1}}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{e^t}{(e^t{)}^2+1}}}}\cdot \underset{\mathrm{d}z}{\underbrace{e^t\mathrm{d}t}}={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{z}{z^2+1}}\cdot \mathrm{d}z}}$$

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{z}{z^2+1}}\cdot \mathrm{d}z={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln (z^2+1)+C_1}$$

Dann ist $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln (e^{2t}+1)+C_1}$$

Für das zweite Integral gilt:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^t}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t}$$

Es ist $z=e^t$ und $\mathrm{d}z=e^t\cdot \mathrm{d}t$.

Weiterhin gilt: $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ und $G\left(x\right)=\arctan \left(x\right)+C$

Dann ist $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}}=\arctan \left(z\right)+C_2}$$ und $${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^t}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t=\arctan \left(e^t\right)+C_2}$$

Als Lösung erhält man:

$${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{e^{2t}+e^t}{e^{2t}+1}}\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \ln (e^{2t}+1)+\arctan \left(e^t\right)+C}$$