Teil 2, Analysis I

Bestimme das Monotonieverhalten des Graphen von $FF$

Es ist $f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}+e^x}{e^{2x}+1}}f(x)=\backslash dfrac\{e^\{2x\}+e^x\}\{e^\{2x\}+1\}$.

Der Nenner ist für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ größer null.

Der Zähler ist die Summe zweier e-Funktionen und damit auch für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ größer null $\Rightarrow f(x)>0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Nun gilt:

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\Rightarrow F^{\mathrm{\prime }}(x)>0F\text{'}(x)=f(x)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;F\text{'}(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Demnach ist $F(x)F(x)$ streng monoton steigend für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Gib nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die $xx$- und die $yy$-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von $FF$ näherungsweise an und begründe jeweils Deine Antwort

Die Wendepunkte einer Integralfunktion $FF$ liegen dort, wo sich die Krümmung der zu integrierenden Funktion $ff$ ändert, also dort, wo die zweite Ableitung der Integralfunktion $FF$ null wird und ihr Vorzeichen wechselt.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\Rightarrow F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)F\text{'}(x)=f(x)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;F\text{'}\text{'}(x)=f\text{'}(x)$

$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=0F\text{'}\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}(x)=0$ liefert die Extremstellen von $G_{f}G\_f$.

Der Abbildung kann man die Koordinaten des Hochpunktes entnehmen.

Sie sind ungefähr $HP(\mathrm{0,9}\mid \mathrm{1,2})HP(0\{,\}9\backslash mid\; 1\{,\}2)$.

Der Wendepunkt von $G_{F}G\_F$ hat dann ebenfalls diese Koordinaten $WP(\mathrm{0,9}\mid \mathrm{1,2})WP(0\{,\}9\backslash mid\; 1\{,\}2)$.

Bestimme eine integralfreie Darstellung von $F(x)F(x)$

Beachte $e^{2t}=(e^t{)}^2=e^t\cdot e^{t}e^\{2t\}=(e^\{t\})^2=e^t\backslash cdot\; e^t$.

Zerlege das Integral in die Summe von 2 Integralen.

${\displaystyle \int \frac{e^{2t}+e^t}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t={\displaystyle \int \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t+{\displaystyle \int \frac{e^t}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t}}}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{2t\}+e^t\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{2t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t+\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^t\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$

Für das erste Integral gilt:

${\displaystyle \int \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t={\displaystyle \int \frac{e^t}{e^{2t}+1}\cdot e^t\mathrm{d}t}}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{2t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash cdot\; e^t\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$

Es ist $z=e^{t}z=e^t$. Dann folgt mit $\mathrm{d}z=e^t\cdot \mathrm{d}t\backslash mathrm\{d\}z=e^t\backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}t$

$\Rightarrow {\displaystyle \int \underset{\frac{z}{z^2+1}}{\underbrace{\frac{e^t}{(e^t{)}^2+1}}}\cdot \underset{\mathrm{d}z}{\underbrace{e^t\mathrm{d}t}}={\displaystyle \int \frac{z}{z^2+1}\cdot \mathrm{d}z}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash underbrace\{\backslash dfrac\{e^\{t\}\}\{(e^\{t\})^2+1\}\}\_\{\; \backslash dfrac\{z\}\{z^2+1\}\}\backslash cdot\; \backslash underbrace\{e^t\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\}\_\{\backslash mathrm\{d\}z\}=\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{z\}\{z^2+1\}\backslash cdot\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}z$

${\displaystyle \int \frac{z}{z^2+1}\cdot \mathrm{d}z=\frac{1}{2}\cdot \ln (z^2+1)+C_1}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{z\}\{z^2+1\}\backslash cdot\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}z=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash ln(z^2+1)+C\_1$

Dann ist ${\displaystyle \int \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\cdot \ln (e^{2t}+1)+C_1}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{2t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash ln(e^\{2t\}+1)+C\_1$

Für das zweite Integral gilt:

${\displaystyle \int \frac{e^t}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$

Es ist $z=e^{t}z=e^t$ und $\mathrm{d}z=e^t\cdot \mathrm{d}t\backslash mathrm\{d\}z=e^t\backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}t$.

Weiterhin gilt: $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}g\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac1\{1+x^2\}$ und $G\left(x\right)=\arctan \left(x\right)+CG\backslash left(x\backslash right)=\backslash arctan\backslash left(x\backslash right)+C$

Dann ist ${\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}z}{z^2+1}=\arctan \left(z\right)+C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{\backslash mathrm\{d\}z\}\{z^2+1\}=\backslash arctan\backslash left(z\backslash right)+C\_2$ und ${\displaystyle \int \frac{e^t}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t=\arctan \left(e^t\right)+C_2}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{t\}\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash arctan\backslash left(e^t\backslash right)+C\_2$

Als Lösung erhält man:

${\displaystyle \int \frac{e^{2t}+e^t}{e^{2t}+1}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\cdot \ln (e^{2t}+1)+\arctan \left(e^t\right)+C}\backslash displaystyle\backslash int\; \backslash dfrac\{e^\{2t\}+e^t\}\{e^\{2t\}+1\}\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash ln(e^\{2t\}+1)+\backslash arctan\backslash left(e^t\backslash right)+C$