Ermittele die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$

Gegeben ist der Halbkugelradius $R=10\text{ cm}$.

$V_Z=\pi \cdot r^2\cdot h$

Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an:

$R^2=r^2+h^2\Rightarrow {10}^2=r^2+h^2\Rightarrow r^2=100-h^2$.

Setze $r^2$ in $V_Z$ ein:

$V_Z(h)=\pi \cdot (100-h^2)\cdot h=\pi \cdot (100h-h^3)$

Die Maßzahl $V(h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ lautet $V_Z(h)=\pi \cdot (100h-h^3)$.

Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:h\mapsto V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6\text{ cm}$ betragen soll

Es gilt also $h\ge 6$ und $h<10$ (für $h=10$ ist das Zylindervolumen gleich null).

Damit ist die Definitionsmenge $D_V=[6;10[$.

Berechne $h$ so, dass $V(h)$ den absolut größten Wert annimmt

Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_Z(h)$.

Es ist $V_Z(h)=\pi \cdot (100h-h^3)\Rightarrow V_Z^{\prime }(h)=\pi \cdot (100-3h^2)$ und

$V_Z^{\prime \prime }(h)=-6\cdot \pi \cdot h$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_Z^{\prime }(h)=0$.

Löse die Gleichung $V_Z^{\prime }(h)=0\Rightarrow 0=\pi \cdot (100-3h^2)$ nach $h$ auf.

$\Rightarrow h^2={\displaystyle \frac{100}{3}}\Rightarrow h=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{100}{3}}}$

Die negative Lösung für $h$ entfällt und die positive Lösung $h=\sqrt{{\displaystyle \frac{100}{3}}}\approx \mathrm{5,77}$ ist nicht im Definitionsbereich (siehe Aufgabe a) enthalten.

Das maximale Volumen kann also nur am Rand liegen$\Rightarrow$ Randbetrachtung.

Die linke Seite des Definitionsbereiches ist $h=6\Rightarrow V_Z(6)=\pi \cdot (100\cdot 6-6^3)=\pi \cdot 384$.

Für die rechte Seite des Definitionsbereiches muss der Grenzwert berechnet werden: $${\displaystyle \underset{h\to {10}^{-}}{\lim }\pi \cdot (100h-h^3)=0}$$

Damit erhält man das absolute Maximum für $h=6\Rightarrow V_{max}=384\pi$.

Untersuche, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt

Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ des Kugelvolumens:

${\displaystyle \frac{1}{4}}{V}_K={\displaystyle \frac{1}{4}}\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\right)=\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^3\right)=\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {10}^3\right)={\displaystyle \frac{1000}{3}}\pi \approx \mathrm{333,3}\pi$

Gilt: $V_{max}>{\displaystyle \frac{1}{4}}{V}_K$?

$\Rightarrow 384\pi >\mathrm{333,3}\pi ✓$

Das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders beträgt mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens.