A I

1

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades mit $D_g=\mathbb{R}$ , deren Graph $G_{g}$ in der Abbildung dargestellt ist.

Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: $G_{g}$ hat bei der Nullstelle $x = 6$ eine Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ mit $x\in \mathbb{R}$ und besitzt den Wendepunkt $W (5 ∣ - 18) .$

Skizzieren Sie den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem
Die Funktion $g$ ist eine Funktion 3. Grades.
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse. Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)
Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
$G_{g^{'}}$ ist streng monoton steigend für $x\in ]-\infty; 5]$ und streng monoton fallend für $x\in [5;\infty[$ .
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Teil 1
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse.
Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Teil 2
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
Zur Bestimmung des Funktionsterms $g (x)$ ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
$1.$ Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
$2.$ Bestimmen Sie $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen
Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades lautet:
$g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Die 1. und 2. Ableitung sind dann:
$g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ und $g^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
Der Aufgabe entnimmt man die folgenden Eigenschaften von $g (x)$ :
Nullstelle $x = 6$ $\;\Rightarrow\;g(6)=0\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(I)}$
Wendepunkt $W(5 |-18)\;\Rightarrow\;g(5)=-18\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(II)}$
Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ bei $x=6\;\Rightarrow\;g'(6)=16\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(III)}$
Wendepunkt bei $x=5\;\Rightarrow\;g''(5)=0\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(IV)}$
Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
Rechne $\;\mathrm{(I)}-\;\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(V)}\; 91a+11b+c=18$
Rechne $\;\mathrm{(V)}-\;\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(VI)}-17a-b=2\;\Rightarrow\;b=-17a-2$
Setze $b = - 17 a - 2$ in $\mathrm{(IV)}$ ein: $30a+2\cdot(-17a-2)=0\;\Rightarrow\;-4a-4=0\;\Rightarrow\;a=-1$
Setze $a = - 1$ in $\mathrm{(VI)}$ ein $\;\Rightarrow\;b=-17\cdot(-1)-2=15$
Aus $\mathrm{(III)}$ folgt $c = 16 - 108 a - 12 b$ .
Setze $a = - 1$ und $b = 15$ ein:
$c=16-108\cdot(-1)-12\cdot 15=16+108-180=-56$
Aus $\mathrm{(I)}$ folgt $d = - 216 a - 36 b - 6 c$ .
Setze $a = - 1$ , $b = 15$ und $c = - 56$ ein:
$d=-216\cdot(-1)-36\cdot 15-6\cdot(-56)=216-540+336=12$
Damit ist dann $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ .
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Teil 1
Gib die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades und die 1. und 2. Ableitung an.
Der Aufgabe entnimmt man dann gegebene Eigenschaften von $g (x)$ und erstellt mit diesen Eigenschaften Gleichungen, die den vorgegebenen Gleichungen entsprechen.
Teil 2
Löse das Gleichungssystem.

2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist nun die Funktion $f:x\rightarrow \dfrac{1}{10}\cdot g(x)=\dfrac{1}{10}\left(-x^3+15x^2-56x+12\right)$ mit $D_f=\mathbb{R}$ , wobei $g$ die Funktion aus Aufgabe 1b) ist. Der Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)=\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$ .

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\;\Rightarrow\;-x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ ist bekannt $x_{N} = 6$ .

Führe eine Polynomdivision durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2 \\-\underline{(-x^3+6x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\;\Rightarrow\;x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

$\displaystyle x_{2{,}3}=$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 9$ und $q = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-9)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{20{,}25-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{18{,}25}$

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_{f}$ mit der x-Achse $N_1(6\mid 0), N_2(4{,}5 -\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx$ $N_2(0{,}23\mid 0)$ und $N_3(4{,}5 +\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx N_3(8{,}77\mid 0)$ .

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x = 0$ in $f (x)$ ein $\;\Rightarrow\;f(0)=1{,}2\;\Rightarrow\;S_y(0\mid 1{,}2)$ .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid 1{,}2)$ .

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Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$ . Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .

Bilde die 1. Ableitung:

$f'(x)=\dfrac{1}{10}(-3x^2+30x-56)$

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-3x^2+30x-56$ (Nur die Klammer kann null werden.)

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 3, b = 30$ und $c = - 56$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot(-3)\cdot(-56)}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{900-672}}{2\cdot (-3)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{228}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Schreibe $228$ als $4\cdot 57$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{4\cdot 57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm2\cdot\sqrt{57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-15\pm\sqrt{57}}{(-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $(- 1)$ aus und kürze
	$=$	$\displaystyle \dfrac{15\mp\sqrt{57}}{3}$

Mögliche Extremstellen sind $x_1=\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\approx2{,}5$ und $x_2=\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\approx7{,}5$ .

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$f^{'} (x) = 0$ und $f''(x)\neq 0$

Bilde die 2. Ableitung:

$f''(x)=\dfrac{1}{10}(-6x+30)$

$f''(2{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 2{,}5+30)=1{,}5>0\;\Rightarrow\;$ rel. Min.

$f''(7{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 7{,}5+30)=-1{,}5<0\;\Rightarrow\;$ rel. Max.

Berechne die y-Werte der Extrema:

$f\left(\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\right)\approx -5{,}0$ und $f\left(\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\right)\approx 1{,}4$

Die Extrema lauten demnach (gerundet auf eine Nachkommastelle):

$TP(2{,}5\mid -5{,}0)$ und $HP(7{,}5\mid 1{,}4)$

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Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$
Die Funktionen $f$ und $g$ haben die gleichen Extremstellen und die gleichen Wendestellen. Bekannt ist die Wendestelle $x = 5$ von $g (x)$ . Also hat auch die Funktion $f (x)$ einen Wendepunkt an der Stelle $x = 5$ $(f''(5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 5+30)=0).$
Untersuche die Krümmung von $G_{f}$ mit einer Krümmungstabelle.
$x$
$x < 5$
$x = 5$
$x > 5$
$f^{''} (x)$
$+$
$0$
$-$
Krümmung
lgk
WP
rgk
Damit ist $G_{f}$ linksgekrümmt für $x\in ]-\infty;5]$ und rechtsgekrümmt für $x\in[5;\infty[$ .
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Untersuche die Krümmung von $G_{f}$ mit einer Krümmungstabelle.
Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1$ LE = $1\cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem
$G_{f}$
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Zeichne die unter a) und b) berechneten wesentlichen Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zum Graphen von $f$ .
Es gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6} f(x)\;\mathrm{d}x=0$ . Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$
Bei $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ liegt eine Nullstelle des Graphen von $f$ . Wenn von $x = - 2$ bis $x = 6$ integriert wird, wird über diese Nullstelle hinweg integriert.
Das Ergebnis der Integration ist gleich null, d.h. der Flächeninhalt der Fläche, die von $x = - 2$ bis $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ reicht (Fläche liegt oberhalb der x-Achse), ist gleich dem Flächeninhalt, der von $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ bis $x = 6$ reicht (Fläche liegt unterhalb der x-Achse).
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse
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Es wird über die Nullstelle $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ hinweg integriert und das Ergebnis ist gleich null.
Was bedeutet das für die beiden Flächeninhalte?
Die Parabel $G_{p}$ mit $p(x)=-0{,}1 x^2+0, 4x+1{,}2$ und $D_p=\mathbb{R}$ schließt mit $G_{f}$ im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnen Sie $G_{p}$ für $-1\le x\le 10$ in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke
Zeichne $G_{p}$ ein.
Graphen von $f$ und $p$
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Integrationsgrenzen sind $x = 0$ und $x = 6$ .
Es ist: $p(x)-f(x)=-0{,}1 x^2+0, 4x + 1{,}2-\left(\dfrac{1}{10}\left(-x^3+15x^2-56x+12\right)\right)=$
$0{,}1x^3-1{,}6x^2+6x$
Dann folgt für das Integral:
$\displaystyle\int_{0}^{6} (p(x)-f(x))\; \mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{6} (0{,}1x^3-1{,}6x^2+6x)\; \mathrm{d}x=\left[\dfrac{0{,}1}{4}x^4-\dfrac{1{,}6}{3}x^3+3x^2\right]_0^6=\left(\dfrac{0{,}1}{4}\cdot6^4-\dfrac{1{,}6}{3}\cdot6^3+3\cdot6^2\right)-0=32{,}4-115{,}2+108=25{,}2$
Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt $25{,}2\;\mathrm{FE}$ .
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Teil 1
Zeichne den Graphen von $p$ und schraffiere das linke der beiden Flächenstücke.
Teil 2
Die Integrationsgrenzen sind $x = 0$ und $x = 6$ .
Berechne $p (x) - f (x)$ und dann das Integral $\displaystyle\int_{0}^{6} (p(x)-f(x))\; \mathrm{d}x$ .

$x$	$x < 5$	$x = 5$	$x > 5$
$f^{''} (x)$	$+$	$0$	$-$
Krümmung	lgk	WP	rgk

3

Einer Halbkugel mit Radius $R=10 \cm$ soll ein Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ einbeschrieben werden (siehe Skizze).

Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Ermitteln Sie die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:h\mapsto V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 \cm$ betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: $V(h)=h\pi(100-h^2)$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Ermittele die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$
Gegeben ist der Halbkugelradius $R=10 \cm$ .
$V_Z=\pi\cdot r^2\cdot h$
Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an:
$R^2=r^2+h^2\;\Rightarrow\;10^2=r^2+h^2\;\Rightarrow\;r^2=100-h^2$ .
Setze $r^{2}$ in $V_{Z}$ ein:
$V_Z(h)=\pi\cdot(100-h^2)\cdot h=\pi\cdot(100h-h^3)$
Die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$ lautet $V_Z(h)=\pi\cdot(100h-h^3)$ .
Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:h\mapsto V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 \cm$ betragen soll
Es gilt also $h\geq 6$ und $h < 10$ (für $h = 10$ ist das Zylindervolumen gleich null).
Damit ist die Definitionsmenge $D_{V} = [6; 10 [$ .
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Teil 1
Es ist $V_Z=\pi\cdot r^2\cdot h$ .
Wende im rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras an und löse nach $r^{2}$ auf. Setze $r^{2}$ in $V_{Z}$ ein.
Teil 2
Es muss gelten $h\geq 6$ und $h < 10$ $\;\Rightarrow\;D_V$ .
Berechnen Sie $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Berechne $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Z} (h)$ .
Es ist $V_Z(h)=\pi\cdot(100h-h^3)\;\Rightarrow\;V'_Z(h)=\pi\cdot(100-3h^2)$ und
$V_Z''(h)=-6\cdot \pi\cdot h$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Z}^{'} (h) = 0$ .
Löse die Gleichung $V'_Z(h)=0\;\Rightarrow\;0=\pi\cdot(100-3h^2)$ nach $h$ auf.
$\Rightarrow\;h^2=\dfrac{100}{3}\;\Rightarrow\;h=\pm \sqrt{\dfrac{100}{3}}$
Die negative Lösung für $h$ entfällt und die positive Lösung $h= \sqrt{\dfrac{100}{3}}\approx5{,}77$ ist nicht im Definitionsbereich (siehe Aufgabe a) enthalten.
Das maximale Volumen kann also nur am Rand liegen $\;\Rightarrow\;$ Randbetrachtung.
Die linke Seite des Definitionsbereiches ist $h=6\;\Rightarrow\; V_Z(6)=\pi\cdot(100\cdot 6-6^3)=\pi\cdot 384$ .
Für die rechte Seite des Definitionsbereiches muss der Grenzwert berechnet werden: $\displaystyle\lim_{h\rightarrow 10^-}\pi\cdot(100h-h^3)=0$
Damit erhält man das absolute Maximum für $h=6\;\Rightarrow\;V_{max}=384 \pi$ .
Untersuche, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt
Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist $\dfrac{1}{4}$ des Kugelvolumens:
$\dfrac{1}{4}V_K=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{3}\pi R^3\right)=\left(\dfrac{1}{3}\pi R^3\right)=\left(\dfrac{1}{3}\pi 10^3\right)=\dfrac{1000}{3}\pi\approx333{,}3\pi$
Gilt: $V_{max}>\dfrac{1}{4}V_K$ ?
$\Rightarrow\;384\pi>333{,}3\pi\;\checkmark$
Das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders beträgt mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens.
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Teil 1
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $V_{Z} (h)$ .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $V_{Z}^{'} (h) = 0$ .
Löse die Gleichung $V_{Z}^{'} (h) = 0$ nach $h$ auf.
Untersuche, ob die gefundene Lösung im Definitionsbereich liegt. Falls die nicht der Fall sein sollte, muss eine Randbetrachtung erfolgen.
Gib $V_{max}$ an.
Teil 2
Die Hälfte des Halbkugelvolumens ist $\dfrac{1}{4}$ des Kugelvolumens. Berechne diesen Wert.
Gilt: $V_{max}>\dfrac{1}{4}V_K$ ?

A I

Skizziere den Graphen GgG_gGg​ der 1. Ableitungsfunktion von ggg in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von ggg (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion g′g'g′

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1.1.1. Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme g(x)g(x)g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1b)

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Berechne alle Schnittpunkte des Graphen GfG_fGf​ mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkt mit der y-Achse:

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Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_fGf​

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Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von GfG_fGf​

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Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_fGf​ im Bereich −1≤x≤10-1\le x\le 10−1≤x≤10 in ein kartesisches Koordinatensystem

Hast du eine Frage oder Feedback?

Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf GfG_fGf​

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Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

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Ermittele die Maßzahl V(h)V(h)V(h) des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe hhh

Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V:h↦V(h)V:h\mapsto V(h)V:h↦V(h) an, wenn die Höhe hhh mindestens 6 cm6 \cm6 cm betragen soll

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Berechne hhh so, dass V(h)V(h)V(h) den absolut größten Wert annimmt

Untersuche, ob das maximale Volumen VmaxV_{\text{max}}Vmax​ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt

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Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$

$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$

Ermittele die Maßzahl $V (h)$ des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe $h$

Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $V:h\mapsto V(h)$ an, wenn die Höhe $h$ mindestens $6 \cm$ betragen soll

Berechne $h$ so, dass $V (h)$ den absolut größten Wert annimmt

Untersuche, ob das maximale Volumen $V_{\text{max}}$ des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt