A I - lernen mit Serlo!

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist nun die Funktion $f:x\rightarrow \dfrac{1}{10}\cdot g(x)=\dfrac{1}{10}\left(-x^3+15x^2-56x+12\right)$ mit $D_f=\mathbb{R}$ , wobei $g$ die Funktion aus Aufgabe 1b) ist. Der Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)=\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$ .

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\;\Rightarrow\;-x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ ist bekannt $x_{N} = 6$ .

Führe eine Polynomdivision durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2 \\-\underline{(-x^3+6x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\;\Rightarrow\;x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

$\displaystyle x_{2{,}3}=$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 9$ und $q = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-9)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{20{,}25-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{18{,}25}$

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_{f}$ mit der x-Achse $N_1(6\mid 0), N_2(4{,}5 -\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx$ $N_2(0{,}23\mid 0)$ und $N_3(4{,}5 +\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx N_3(8{,}77\mid 0)$ .

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x = 0$ in $f (x)$ ein $\;\Rightarrow\;f(0)=1{,}2\;\Rightarrow\;S_y(0\mid 1{,}2)$ .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid 1{,}2)$ .

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Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$ . Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .

Bilde die 1. Ableitung:

$f'(x)=\dfrac{1}{10}(-3x^2+30x-56)$

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-3x^2+30x-56$ (Nur die Klammer kann null werden.)

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 3, b = 30$ und $c = - 56$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot(-3)\cdot(-56)}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{900-672}}{2\cdot (-3)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{228}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Schreibe $228$ als $4\cdot 57$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{4\cdot 57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm2\cdot\sqrt{57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-15\pm\sqrt{57}}{(-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $(- 1)$ aus und kürze
	$=$	$\displaystyle \dfrac{15\mp\sqrt{57}}{3}$

Mögliche Extremstellen sind $x_1=\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\approx2{,}5$ und $x_2=\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\approx7{,}5$ .

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$f^{'} (x) = 0$ und $f''(x)\neq 0$

Bilde die 2. Ableitung:

$f''(x)=\dfrac{1}{10}(-6x+30)$

$f''(2{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 2{,}5+30)=1{,}5>0\;\Rightarrow\;$ rel. Min.

$f''(7{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 7{,}5+30)=-1{,}5<0\;\Rightarrow\;$ rel. Max.

Berechne die y-Werte der Extrema:

$f\left(\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\right)\approx -5{,}0$ und $f\left(\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\right)\approx 1{,}4$

Die Extrema lauten demnach (gerundet auf eine Nachkommastelle):

$TP(2{,}5\mid -5{,}0)$ und $HP(7{,}5\mid 1{,}4)$

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Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$
Die Funktionen $f$ und $g$ haben die gleichen Extremstellen und die gleichen Wendestellen. Bekannt ist die Wendestelle $x = 5$ von $g (x)$ . Also hat auch die Funktion $f (x)$ einen Wendepunkt an der Stelle $x = 5$ $(f''(5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 5+30)=0).$
Untersuche die Krümmung von $G_{f}$ mit einer Krümmungstabelle.
$x$
$x < 5$
$x = 5$
$x > 5$
$f^{''} (x)$
$+$
$0$
$-$
Krümmung
lgk
WP
rgk
Damit ist $G_{f}$ linksgekrümmt für $x\in ]-\infty;5]$ und rechtsgekrümmt für $x\in[5;\infty[$ .
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Untersuche die Krümmung von $G_{f}$ mit einer Krümmungstabelle.
Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: $1$ LE = $1\cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem
$G_{f}$
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Zeichne die unter a) und b) berechneten wesentlichen Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zum Graphen von $f$ .
Es gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6} f(x)\;\mathrm{d}x=0$ . Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$
Bei $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ liegt eine Nullstelle des Graphen von $f$ . Wenn von $x = - 2$ bis $x = 6$ integriert wird, wird über diese Nullstelle hinweg integriert.
Das Ergebnis der Integration ist gleich null, d.h. der Flächeninhalt der Fläche, die von $x = - 2$ bis $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ reicht (Fläche liegt oberhalb der x-Achse), ist gleich dem Flächeninhalt, der von $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ bis $x = 6$ reicht (Fläche liegt unterhalb der x-Achse).
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse
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Es wird über die Nullstelle $x=4{,}5 -\sqrt{18{,}25}$ hinweg integriert und das Ergebnis ist gleich null.
Was bedeutet das für die beiden Flächeninhalte?
Die Parabel $G_{p}$ mit $p(x)=-0{,}1 x^2+0, 4x+1{,}2$ und $D_p=\mathbb{R}$ schließt mit $G_{f}$ im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnen Sie $G_{p}$ für $-1\le x\le 10$ in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke
Zeichne $G_{p}$ ein.
Graphen von $f$ und $p$
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Integrationsgrenzen sind $x = 0$ und $x = 6$ .
Es ist: $p(x)-f(x)=-0{,}1 x^2+0, 4x + 1{,}2-\left(\dfrac{1}{10}\left(-x^3+15x^2-56x+12\right)\right)=$
$0{,}1x^3-1{,}6x^2+6x$
Dann folgt für das Integral:
$\displaystyle\int_{0}^{6} (p(x)-f(x))\; \mathrm{d}x=\displaystyle\int_{0}^{6} (0{,}1x^3-1{,}6x^2+6x)\; \mathrm{d}x=\left[\dfrac{0{,}1}{4}x^4-\dfrac{1{,}6}{3}x^3+3x^2\right]_0^6=\left(\dfrac{0{,}1}{4}\cdot6^4-\dfrac{1{,}6}{3}\cdot6^3+3\cdot6^2\right)-0=32{,}4-115{,}2+108=25{,}2$
Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt $25{,}2\;\mathrm{FE}$ .
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Teil 1
Zeichne den Graphen von $p$ und schraffiere das linke der beiden Flächenstücke.
Teil 2
Die Integrationsgrenzen sind $x = 0$ und $x = 6$ .
Berechne $p (x) - f (x)$ und dann das Integral $\displaystyle\int_{0}^{6} (p(x)-f(x))\; \mathrm{d}x$ .

$x$	$x < 5$	$x = 5$	$x > 5$
$f^{''} (x)$	$+$	$0$	$-$
Krümmung	lgk	WP	rgk

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen GfG_fGf​ mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkt mit der y-Achse:

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Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_fGf​

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Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von GfG_fGf​

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Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_fGf​ im Bereich −1≤x≤10-1\le x\le 10−1≤x≤10 in ein kartesisches Koordinatensystem

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Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf GfG_fGf​

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Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

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Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_{f}$

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_{f}$