Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_f$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\Rightarrow -x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g(x)=-x^3+15x^2-56x+12$ ist bekannt $x_N=6$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\\ -\underline{(-x^3+6x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\Rightarrow x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_f$ mit der x-Achse $N_1(6|0),N_2(\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}|0)\approx$$N_2(\mathrm{0,23}|0)$ und $N_3(\mathrm{4,5}+\sqrt{\mathrm{18,25}}|0)\approx N_3(\mathrm{8,77}|0)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x=0$ in $f(x)$ ein $\Rightarrow f(0)=\mathrm{1,2}\Rightarrow S_y(0|\mathrm{1,2})$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|\mathrm{1,2})$.

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Bilde die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-3x^2+30x-56)$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-3x^2+30x-56$ (Nur die Klammer kann null werden.)

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Mögliche Extremstellen sind $x_1={\displaystyle \frac{15-\sqrt{57}}{3}}\approx \mathrm{2,5}$ und $x_2={\displaystyle \frac{15+\sqrt{57}}{3}}\approx \mathrm{7,5}$.

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$f^{\prime }(x)=0$ und $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$

Bilde die 2. Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-6x+30)$

$f^{\prime \prime }(\mathrm{2,5})={\displaystyle \frac{1}{10}}(-6\cdot \mathrm{2,5}+30)=\mathrm{1,5}>0\Rightarrow$ rel. Min.

$f^{\prime \prime }(\mathrm{7,5})={\displaystyle \frac{1}{10}}(-6\cdot \mathrm{7,5}+30)=-\mathrm{1,5}<0\Rightarrow$ rel. Max.

Berechne die y-Werte der Extrema:

$f\left({\displaystyle \frac{15-\sqrt{57}}{3}}\right)\approx -\mathrm{5,0}$ und $f\left({\displaystyle \frac{15+\sqrt{57}}{3}}\right)\approx \mathrm{1,4}$

Die Extrema lauten demnach (gerundet auf eine Nachkommastelle):

$TP(\mathrm{2,5}|-\mathrm{5,0})$ und $HP(\mathrm{7,5}|\mathrm{1,4})$

Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von $G_f$

Die Funktionen $f$ und $g$ haben die gleichen Extremstellen und die gleichen Wendestellen. Bekannt ist die Wendestelle $x=5$ von $g(x)$. Also hat auch die Funktion $f(x)$ einen Wendepunkt an der Stelle $x=5$ $(f^{\prime \prime }(5)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-6\cdot 5+30)=0).$

Untersuche die Krümmung von $G_f$ mit einer Krümmungstabelle.

Damit ist $G_f$ linksgekrümmt für $x\in ]-\infty ;5]$ und rechtsgekrümmt für $x\in [5;\infty [$.

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_f$ im Bereich $-1\le x\le 10$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf $G_f$

Bei $x=\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}$ liegt eine Nullstelle des Graphen von $f$. Wenn von $x=-2$ bis $x=6$ integriert wird, wird über diese Nullstelle hinweg integriert.

Das Ergebnis der Integration ist gleich null, d.h. der Flächeninhalt der Fläche, die von $x=-2$ bis $x=\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}$ reicht (Fläche liegt oberhalb der x-Achse), ist gleich dem Flächeninhalt, der von $x=\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}$ bis $x=6$ reicht (Fläche liegt unterhalb der x-Achse).

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke

Zeichne $G_p$ ein.

Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts

Die Integrationsgrenzen sind $x=0$ und $x=6$.

Es ist: $p(x)-f(x)=-\mathrm{0,1}{x}^2+0,4x+\mathrm{1,2}-\left({\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)\right)=$

$\mathrm{0,1}{x}^3-\mathrm{1,6}{x}^2+6x$

Dann folgt für das Integral:

$${\displaystyle {\int }_0^6(p(x)-f(x))\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^6(\mathrm{0,1}{x}^3-\mathrm{1,6}{x}^2+6x)\mathrm{d}x={[{\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{4}}{x}^4-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{3}}{x}^3+3x^2]}_0^6=({\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{4}}\cdot 6^4-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}}{3}}\cdot 6^3+3\cdot 6^2)-0=\mathrm{32,4}-\mathrm{115,2}+108=\mathrm{25,2}}}$$

Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt $\mathrm{25,2}\mathrm{FE}$.