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Gegeben ist die ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades mit $D_g=\mathbb{R}$ , deren Graph $G_{g}$ in der Abbildung dargestellt ist.

Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: $G_{g}$ hat bei der Nullstelle $x = 6$ eine Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ mit $x\in \mathbb{R}$ und besitzt den Wendepunkt $W (5 ∣ - 18) .$

Skizzieren Sie den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem
Die Funktion $g$ ist eine Funktion 3. Grades.
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse. Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)
Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
$G_{g^{'}}$ ist streng monoton steigend für $x\in ]-\infty; 5]$ und streng monoton fallend für $x\in [5;\infty[$ .
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Teil 1
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse.
Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Teil 2
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
Zur Bestimmung des Funktionsterms $g (x)$ ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
$1.$ Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
$2.$ Bestimmen Sie $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen
Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades lautet:
$g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Die 1. und 2. Ableitung sind dann:
$g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ und $g^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
Der Aufgabe entnimmt man die folgenden Eigenschaften von $g (x)$ :
Nullstelle $x = 6$ $\;\Rightarrow\;g(6)=0\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(I)}$
Wendepunkt $W(5 |-18)\;\Rightarrow\;g(5)=-18\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(II)}$
Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ bei $x=6\;\Rightarrow\;g'(6)=16\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(III)}$
Wendepunkt bei $x=5\;\Rightarrow\;g''(5)=0\;\Rightarrow\;$ Gleichung $\;\mathrm{(IV)}$
Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
Rechne $\;\mathrm{(I)}-\;\mathrm{(II)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(V)}\; 91a+11b+c=18$
Rechne $\;\mathrm{(V)}-\;\mathrm{(III)}\;\Rightarrow\;\mathrm{(VI)}-17a-b=2\;\Rightarrow\;b=-17a-2$
Setze $b = - 17 a - 2$ in $\mathrm{(IV)}$ ein: $30a+2\cdot(-17a-2)=0\;\Rightarrow\;-4a-4=0\;\Rightarrow\;a=-1$
Setze $a = - 1$ in $\mathrm{(VI)}$ ein $\;\Rightarrow\;b=-17\cdot(-1)-2=15$
Aus $\mathrm{(III)}$ folgt $c = 16 - 108 a - 12 b$ .
Setze $a = - 1$ und $b = 15$ ein:
$c=16-108\cdot(-1)-12\cdot 15=16+108-180=-56$
Aus $\mathrm{(I)}$ folgt $d = - 216 a - 36 b - 6 c$ .
Setze $a = - 1$ , $b = 15$ und $c = - 56$ ein:
$d=-216\cdot(-1)-36\cdot 15-6\cdot(-56)=216-540+336=12$
Damit ist dann $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ .
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Teil 1
Gib die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades und die 1. und 2. Ableitung an.
Der Aufgabe entnimmt man dann gegebene Eigenschaften von $g (x)$ und erstellt mit diesen Eigenschaften Gleichungen, die den vorgegebenen Gleichungen entsprechen.
Teil 2
Löse das Gleichungssystem.

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Skizziere den Graphen GgG_gGg​ der 1. Ableitungsfunktion von ggg in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von ggg (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion g′g'g′

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1.1.1. Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme g(x)g(x)g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1b)

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Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$

$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)