A I - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die ganzrationale Funktion $g$ dritten Grades mit $D_{g} = ℝ$ , deren Graph $G_{g}$ in der Abbildung dargestellt ist.

Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: $G_{g}$ hat bei der Nullstelle $x = 6$ eine Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ mit $x \in ℝ$ und besitzt den Wendepunkt $W (5 | - 18) .$

Skizzieren Sie den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem
Die Funktion $g$ ist eine Funktion 3. Grades.
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse. Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)
Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
$G_{g^{'}}$ ist streng monoton steigend für $x \in] - \infty; 5]$ und streng monoton fallend für $x \in [5; \infty [$ .
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Teil 1
Der Leitkoeffizient der Funktion $g$ ist negativ (siehe Verlauf von $G_{g}$ ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von $g$ , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ die x-Achse.
Der Scheitel der Parabel liegt bei $x = 5$ (Wendestelle von $g$ ).
Teil 2
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
Zur Bestimmung des Funktionsterms $g (x)$ ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
$1.$ Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
$2.$ Bestimmen Sie $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen
Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades lautet:
$g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$
Die 1. und 2. Ableitung sind dann:
$g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ und $g^{''} (x) = 6 a x + 2 b$
Der Aufgabe entnimmt man die folgenden Eigenschaften von $g (x)$ :
Nullstelle $x = 6$ $\Rightarrow g (6) = 0 \Rightarrow$ Gleichung $(I)$
Wendepunkt $W (5 | - 18) \Rightarrow g (5) = - 18 \Rightarrow$ Gleichung $(I I)$
Tangente $G_{t}$ mit $t : y = 16 x - 96$ bei $x = 6 \Rightarrow g^{'} (6) = 16 \Rightarrow$ Gleichung $(I I I)$
Wendepunkt bei $x = 5 \Rightarrow g^{''} (5) = 0 \Rightarrow$ Gleichung $(I V)$
Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)
(I) $216 a + 36 b + 6 c + d = 0$
(II) $125 a + 25 b + 5 c + d = - 18$
(III) $108 a + 12 b + c = 16$
(IV) $30 a + 2 b = 0$
Rechne $(I) - (I I) \Rightarrow (V) 91 a + 11 b + c = 18$
Rechne $(V) - (I I I) \Rightarrow (V I) - 17 a - b = 2 \Rightarrow b = - 17 a - 2$
Setze $b = - 17 a - 2$ in $(I V)$ ein: $30 a + 2 \cdot (- 17 a - 2) = 0 \Rightarrow - 4 a - 4 = 0 \Rightarrow a = - 1$
Setze $a = - 1$ in $(V I)$ ein $\Rightarrow b = - 17 \cdot (- 1) - 2 = 15$
Aus $(I I I)$ folgt $c = 16 - 108 a - 12 b$ .
Setze $a = - 1$ und $b = 15$ ein:
$c = 16 - 108 \cdot (- 1) - 12 \cdot 15 = 16 + 108 - 180 = - 56$
Aus $(I)$ folgt $d = - 216 a - 36 b - 6 c$ .
Setze $a = - 1$ , $b = 15$ und $c = - 56$ ein:
$d = - 216 \cdot (- 1) - 36 \cdot 15 - 6 \cdot (- 56) = 216 - 540 + 336 = 12$
Damit ist dann $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ .
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Teil 1
Gib die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades und die 1. und 2. Ableitung an.
Der Aufgabe entnimmt man dann gegebene Eigenschaften von $g (x)$ und erstellt mit diesen Eigenschaften Gleichungen, die den vorgegebenen Gleichungen entsprechen.
Teil 2
Löse das Gleichungssystem.

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Skizziere den Graphen Gg der 1. Ableitungsfunktion von g in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von g (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion g′

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1. Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1b)

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Skizziere den Graphen $G_{g}$ der 1. Ableitungsfunktion von $g$ in ein geeignetes Koordinatensystem

Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von $g$ (orangefarbig)

Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion $g^{'}$

$1.$ Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen

Bestimme $g (x)$ mithilfe der Gleichungen aus 1b)