Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 4

Die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ .

Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .

Es gilt: $|\overline{AC}|= 12\;\mathrm{cm} ; |\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm} ; |\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}; |\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \omega=45^\circ$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{SC}$ und das Maß des Winkels $M S C$ .
$[$ Teilergebnisse: $|\overline{SC}|=10{,}63\;\mathrm{cm}; \sphericalangle MSC= 48{,}81^\circ]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$ .
Pyramide $A B C D S$
Berechne die Länge der Strecke $\overline{SC}$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Benutze den Satz des Pythagoras.
Hier gilt:
$|\overline{CM}|^2+|\overline{MS}|^2=|\overline{SC}|^2\;\Rightarrow\;\sqrt{8^2+7^2}=|\overline{SC}|$
$|\overline{SC}|\approx 10{,}63\;\mathrm{cm}$
Die Länge der Strecke $\overline{SC}$ beträgt rund $10{,}63\;\mathrm{cm}$ .
Berechne das Maß des Winkels $M S C$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Benutze den Tangens:
$\tan\sphericalangle MSC=\dfrac{|\overline{CM}|}{|\overline{MS}|}=\dfrac{8}{7}\;\Rightarrow\;\sphericalangle MSC=\tan^{-1}\left(\dfrac{8}{7}\right)\approx48{,}81^\circ$
Das Maß des Winkels $M S C$ beträgt rund $48{,}81^\circ$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$ .
Teil 2
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Teil 3
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Winkelberechnung: Benutze den Tangens.
Punkte $E_{n}$ liegen auf der Strecke $\overline{MC}$ . Die Winkel $M S E_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ . Für Punkte $P_n \in\overline{SE_n}$ gilt: $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
Zeichne die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Trage im Punkt $S$ den Winkel $\varphi=40^\circ$ an die Strecke $\overline{MS}$ an.
Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $E_{1}$ .
Zeichne einen Kreis um $S$ mit dem Radius $r=6\mathrm{\ cm}$ .
Du erhältst den Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Anmerkung: Der Kreis um $S$ ist in der Abbildung nicht dargestellt, nur sein Schnittpunkt $P_{1}$ mit der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Pyramide mit eingezeichneten Punkten $E_{1}$ , $P_{1}$ und $\overline{SE_1}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Trage im Punkt $S$ den Winkel $\varphi=40^\circ$ an die Strecke $\overline{MS}$ an.
Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $E_{1}$ .
Zeichne einen Kreis um $S$ mit dem Radius $r=6 ;\mathrm{cm}$ .
Du erhältst den Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Punkte $T_{n}$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $P_{n}$ auf die Strecke $\overline{MS}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$ . (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele Geraden konstruieren
Zeichne die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne eine zur Strecke $\overline{AC}$ parallele Strecke, die im Punkt $P_{1}$ beginnt und im Punkt $T_{1}$ endet.
Pyramide mit Strecke $\overline{P_1T_1}$
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$
Bekannt sind $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ und $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$
Außerdem gilt:
$|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|$
Für den $\cos\varphi$ im rechtwinkligen Dreieck $S P_{n} T_{n}$ gilt dann:
$\cos\varphi=\dfrac{|\overline{ST_n}|}{ |\overline{SP_n}|}=\dfrac{|\overline{ST_n}|}{ 6 \;\mathrm{cm}}\;\Rightarrow\;|\overline{ST_n}|(\varphi)=6\cdot \cos\varphi \;\mathrm{cm}$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$
Dann erhält man:
$|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$
Ergebnis: $|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Zeichne eine zur Strecke $\overline{AC}$ parallele Strecke, die im Punkt $P_{1}$ beginnt und im Punkt $T_{1}$ endet.
Teil 2
Bekannt sind $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ und $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ und es gilt: $|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|$
Berechne den $\cos\varphi$ im rechtwinkligen Dreieck $S P_{n} T_{n}$ .
Unter den Strecken $\overline{MT_n}$ hat die Strecke $\overline{MT_0}$ die maximale Länge.
Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Gib den zugehörigen Wert für $\varphi$ an
Je kleiner der Winkel $\varphi$ wird, desto kleiner wird die Strecke $\overline{MT_n}$ .
Anderseits wird die Strecke $\overline{MT_n}$ maximal, wenn $\varphi$ maximal wird.
Der maximale Wert, den $\varphi$ annehmen kann, ist $\varphi=\sphericalangle MSC= 48{,}81^\circ$
(siehe Aufgabe a).
Für $\varphi= 48{,}81^\circ$ hat die Strecke $\overline{MT_0}$ die maximale Länge.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Strecke $\overline{MT_n}$ wird maximal, wenn $\varphi$ maximal wird.
Siehe Aufgabe a).
Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C D P_{n}$ mit den Höhen $\overline{P_nF_n}$ $\left(F_n \in\overline{MC}\right)$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $P_{1} F_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ ein.
Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ (grün)
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ .
Dabei ist die Grundfläche $G$ ein Dreieck mit der Grundseite $|\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}$ und der Höhe $|\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm}$ .
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot|\overline{CM}|=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8=32\;\mathrm{cm}^2$
Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{P_nF_n}|=|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ .
Dann folgt für das Pyramidenvolumen:
$V(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 32\cdot (7-6\cdot \cos\varphi) =(74{,}67-64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
Das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ ist:
$\displaystyle V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ ein.
Teil 2
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche $G$ ist ein Dreieck mit der Grundseite $|\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}$ und der Höhe $|\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm}$ .
Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{P_nF_n}|=|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ .

Das Volumen der Pyramide $B C D P_{2}$ beträgt $\dfrac{1}{5}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$

Das Pyramidenvolumen der Pyramide $A B C D S$ ist:

$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Dabei ist die Grundseite ein Drachenviereck mit den beiden Diagonalen $|\overline{AC}|= 12\;\mathrm{cm}$ und $|\overline{BC}|= 8\;\mathrm{cm}$ .

$\Rightarrow\;G=A_{\text{Drache}}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BC}|=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot8=48\;\mathrm{cm}^2$

Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ .

Dann folgt für das Pyramidenvolumen:

$V_{\text{ABCDS}}=\dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot 7=112\;\mathrm{cm}^3$

Das Volumen der Pyramide $B C D P_{2}$ beträgt $\dfrac{1}{5}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .

Demnach hat die Pyramide $B C D P_{2}$ ein Volumen von:

$V_{BCDP_2}=\dfrac{112}{5}=22{,}4\;\mathrm{cm}^3$ .

Also gilt:

$V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3=22{,}4\;\mathrm{cm}^3$ für $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ .

Jetzt können wir das nach $\varphi$ umformen:

$\displaystyle 74{,}67-64\cdot\cos\varphi$	$=$	$\displaystyle 22{,}4$	$\displaystyle +64\cdot \cos\varphi$
$\displaystyle 74{,}67$	$=$	$\displaystyle 64\cdot \cos\varphi+22{,}4$	$\displaystyle -22{,}4$
$\displaystyle 52{,}27$	$=$	$\displaystyle 64\cdot\cos\varphi$	$\displaystyle :64$
$\displaystyle \dfrac{52{,}27}{64}$	$=$	$\displaystyle \cos\varphi$

$\cos\varphi=\dfrac{52{,}27}{64}\;\Rightarrow\;\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{52{,}27}{64}\right)\approx35{,}24^\circ$

$L=\{35{,}24^\circ\}$

Der zugehörige Wert für $\varphi$ beträgt rund $35{,}24^\circ$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Das Dreieck $S P_{3} C$ ist gleichschenklig.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$

Das Dreieck $S P_{3} C$ ist gleichschenklig.

Demnach sind $|\overline{SP_3}|=|\overline{P_3C}|= 6\;\mathrm{cm}$ .

Benutze zur Berechnung des Winkels $\varphi$ den Kosinussatz:

$\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Der Winkel $\gamma$ ist hier der Winkel $\sphericalangle P_3SC=48{,}81 ^\circ-\varphi$ .

Die Seite $a=|\overline{SC}|= 10{,}63\;\mathrm{cm}$ , die Seite $b=|\overline{SP_3}|= 6\;\mathrm{cm}$ und die Seite $c=|\overline{P_3C}|= 6\;\mathrm{cm}$ .

Damit folgt:

$\cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)=\dfrac{10{,}63^2+6^2-6^2}{2\cdot 10{,}63\cdot6}$ für $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ .

Wieder formen wir nach $\varphi$ um:

$\displaystyle \cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}63^2+6^2-6^2}{2\cdot 10{,}63\cdot6}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}63}{12}$	$\displaystyle \cos^{-1}()$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf.
$\displaystyle 48{,}81 ^\circ-\varphi$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\dfrac{10{,}63}{12}\right)$
$\displaystyle 48{,}81 ^\circ-\varphi$	$\approx ≈$	$\displaystyle 27{,}65^\circ$	$\displaystyle +\varphi-27{,}65^\circ$
$\displaystyle 21{,}16^\circ$	$\approx ≈$	$\displaystyle \varphi$

$L=\{21{,}16^\circ\}$

Der zugehörige Wert für $\varphi$ beträgt rund $21{,}16^\circ$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B 4

Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDSABCDS, wobei die Strecke AC‾\overline{AC}AC auf der Schrägbildachse und der Punkt AAA links vom Punkt CCC liegen soll

Berechne die Länge der Strecke SC‾\overline{SC}SC

Berechne das Maß des Winkels MSCMSCMSC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeichne die Strecke SE1‾\overline{SE_1}SE1​​ sowie den Punkt P1P_1P1​ für φ=40∘\varphi=40^\circφ=40∘ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeichne die Strecke P1T1P_1T_1P1​T1​ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken MTn‾\overline{MT_n}MTn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: ∣MTn‾∣(φ)=(7−6⋅cos⁡φ) cm|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}∣MTn​​∣(φ)=(7−6⋅cosφ)cm

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib den zugehörigen Wert für φ\varphiφ an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeichne die Pyramide BCDP1BCDP_1BCDP1​ und die Höhe P1F1‾\overline{P_1F_1}P1​F1​​ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Pyramide BCDP1BCDP_1BCDP1​ und die Höhe P1F1‾\overline{P_1F_1}P1​F1​​ (grün)

Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen VVVder Pyramiden BCDPnBCDP_nBCDPn​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: V(φ)=(74,67−64⋅cos⁡φ) cm3V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3V(φ)=(74,67−64⋅cosφ)cm3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den zugehörigen Wert für φ\varphiφ

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für φ\varphiφ

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll

Berechne die Länge der Strecke $\overline{SC}$

Berechne das Maß des Winkels $M S C$

Zeichne die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeichne die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$

Gib den zugehörigen Wert für $\varphi$ an

Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ (grün)

Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$