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Nachtermin Teil B

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  1. 1

    Aufgabe B 1

    Rauten ABnCDnAB_nCD_n besitzen die gemeinsame Diagonale AC\overline{AC}. Die Winkel CBnA\sphericalangle CB_nA haben das Maß φ\varphi mit φ  ]0;180[\varphi \in\;]0^\circ;180^\circ[.

    Es gilt: AC=5  cm\overline{AC} =5\;\mathrm{cm}.

    Die Zeichnung zeigt die Raute AB1CD1AB_1CD_1 mit den Diagonalen AC\overline{AC} und B1D1\overline{B_1D_1 } für φ=110\varphi= 110^\circ.

    Raute
    1. Zeichnen Sie die Raute AB2CD2AB_2CD_2 für φ=80\varphi=80^\circ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)

    2. Zeigen Sie, dass für den Umfang uu der Rauten ABnCDnAB_nCD_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      u(φ)=10sin(0,5φ)  cmu(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}. (2 P)

    3. Der Umfang der Raute AB3CD3AB_3CD_3 ist um 15  %15\;\% kleiner als der Umfang der Raute AB1CD1AB_1CD_1.

      Berechnen Sie das zugehörige Maß φ\varphi des Winkels CB3ACB_3A.

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe B 2

    Kongruente, gleichschenklige Dreiecke AnBnCA_nB_nC und CDnEnCD_nE_n besitzen den gemeinsamen Punkt CC. Diese Dreiecke haben die Basen AnBn\overline{A_nB_n} und DnEn\overline{D_nE_n} mit den Mittelpunkten SnS_n und TnT_n.

    Es gilt: AnBn=DnEn=6  cm|\overline{A_nB_n}| =|\overline{D_nE_n}| = 6\;\mathrm{cm}.

    Die Winkel EnCAnE_nCA_n und BnCDnB_nCD_n haben jeweils das Maß φ\varphi mit φ  ]0;180[\varphi \in \;]0^\circ;180^\circ[.

    Die nebenstehende Skizze zeigt die Dreiecke A1B1CA_1B_1C und CD1E1CD_1E_1 für φ=100\varphi= 100^\circ.

    Bild
    1. Die Dreiecke AnBnCA_nB_nC und CDnEnCD_nE_n rotieren um die Gerade SnTnS_nT_n. In der Skizze ist der Axialschnitt des für φ=100\varphi=100^\circ entstehenden Rotationskörpers grau eingefärbt.

      Berechnen Sie die Länge der Strecken CTn\overline{CT_n} sowie das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi.

      [\big[Ergebnisse: CTn(φ)=3tan(φ2)cm|\overline{CT_n}| (\varphi)=3\cdot \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}; V(φ)=18πtan(φ2)cm3]V(\varphi)= 18\cdot \pi\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3\big] (2,5 P)

    2. Die Dreiecke A2B2CA_2B_2C und CD2E2CD_2E_2 sind gleichseitig.

      Berechnen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.

      Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (1,5 P)

  3. 3

    Aufgabe B 3

    Gegeben sind die Funktionen f1f_1 mit der Gleichung y=1,5log0,5(x+3)+1y =-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1 und f2f_2 mit der Gleichung y=1,5log0,5(x+2)+1    (x,yR)y =1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)+1\;\;(x,y \in\mathbb{R}).

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion f1f_1 und zeichnen Sie den Graphen zu f1f_1 für x[2,5;10]x\in[-2{,}5;10] sowie den Graphen zu f2f_2 für x[1,5;10]x\in[-1{,}5;10] in ein Koordinatensystem.

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\mathrm{cm}; 3x10;5y7-3 \leq x \leq 10; -5 \leq y \leq 7 (5 P)

    2. Punkte An(x1,5log0,5(x+3)+1)A_n (x |-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte auf dem Graphen zu f2f_2. Zusammen mit den Punkten C(93)C(9 |-3) und D(94)D(9|4) sind sie für 1,38<x<9-1{,}38 < x< 9 Eckpunkte von Trapezen AnBnCDA_nB_nCD.

      Zeichnen Sie das Trapez A1B1CDA_1B_1CD für x=0,5x =-0{,}5 und das Trapez A2B2CDA_2B_2CD für x=6x= 6 in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein. (2 P)

    3. Berechnen Sie das Maß des Winkels B2A2DB_2A_2D. (3 P)

    4. Die Länge der Strecken AnBn\overline{A_nB_n} in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n lässt sich durch einen Term der Form AnBn(x)=[1,5log0,5(x2+bx+c)]  LE|\overline{A_nB_n}|(x)=\big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x^2 + bx + c)\big]\;\mathrm{LE} mit b,cRb,c \in\mathbb{R} darstellen.

      Bestimmen Sie rechnerisch die Werte für bb und cc. (2,5 P)

    5. Begründen Sie rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen AnBnCDA_nB_nCD kein Rechteck A3B3CDA_3B_3CD gibt. (3,5 P)

  4. 4

    Aufgabe B 4

    Die Diagonalen AC\overline{AC} und BD\overline{BD} des Drachenvierecks ABCDABCD schneiden sich im Punkt MM.

    Das Drachenviereck ABCDABCD ist die Grundfläche der Pyramide ABCDSABCDS mit der Höhe MS\overline{MS}.

    Es gilt: AC=12  cm;CM=8  cm;BD=8  cm;MS=7  cm|\overline{AC}|= 12\;\mathrm{cm} ; |\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm} ; |\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}; |\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei die Strecke AC\overline{AC} auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll.

      Für die Zeichnung gilt: q=12;ω=45q=\dfrac{1}{2}; \omega=45^\circ.

      Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke SC\overline{SC} und das Maß des Winkels MSCMSC.

      [[Teilergebnisse: SC=10,63  cm;MSC=48,81]|\overline{SC}|=10{,}63\;\mathrm{cm}; \sphericalangle MSC= 48{,}81^\circ] (4 P)

    2. Punkte EnE_n liegen auf der Strecke MC\overline{MC}. Die Winkel MSEnMSE_n haben das Maß φ\varphi mit φ[0;48,81]\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]. Für Punkte PnSEnP_n \in\overline{SE_n} gilt: SPn=6  cm|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}.

      Zeichnen Sie die Strecke SE1\overline{SE_1} sowie den Punkt P1P_1 für φ=40\varphi=40^\circ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)

    3. Punkte TnT_n sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten PnP_n auf die Strecke MS\overline{MS}.

      Zeichnen Sie die Strecke P1T1P_1T_1 in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.

      Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken MTn\overline{MT_n} in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

      MTn(φ)=(76cosφ)  cm|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}. (2,5 P)

    4. Unter den Strecken MTn\overline{MT_n} hat die Strecke MT0\overline{MT_0} die maximale Länge.

      Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an. (1 P)

    5. Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden BCDPnBCDP_n mit den Höhen PnFn\overline{P_nF_n} (FnMC)\left(F_n \in\overline{MC}\right).

      Zeichnen Sie die Pyramide BCDP1BCDP_1 und die Höhe P1F1P_1F_1 in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.

      Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen VVder Pyramiden BCDPnBCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=(74,6764cosφ)  cm3V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3. (2 P)

    6. Das Volumen der Pyramide BCDP2BCDP_2 beträgt 15\dfrac{1}{5} des Volumens der Pyramide ABCDSABCDS.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi. (3 P)

    7. Das Dreieck SP3CSP_3C ist gleichschenklig.

      Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für φ\varphi. (2,5 P)


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