Mathe Abschlussprüfungen mit Lösung

Aufgabe B 1

Rauten $A B_{n} C D_{n}$ besitzen die gemeinsame Diagonale $\overline{AC}$ . Die Winkel $\sphericalangle CB_nA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in\;]0^\circ;180^\circ[$ .

Es gilt: $\overline{AC} =5\;\mathrm{cm}$ .

Die Zeichnung zeigt die Raute $A B_{1} C D_{1}$ mit den Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{B_1D_1 }$ für $\varphi= 110^\circ$ .

Zeichnen Sie die Raute $A B_{2} C D_{2}$ für $\varphi=80^\circ$ in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Die beiden Symmetrieachsen der Raute sollen die Koordinatenachsen sein. Dann liegt die Mitte der Raute im Koordinatenursprung.
Berechnung der Länge der halben Diagonalen $\overline{D_2B_2}$ ,
Für die Zeichnung werden z.B. die Koordinaten des Punktes $B_{2}$ benötigt.
Skizze des rechten oberen Dreiecks:
Dann gilt:
$\tan 40^\circ=\dfrac{2{,}5}{x_{B_2}}\;\Rightarrow\;x_{B_2}=\dfrac{2{,}5}{\tan 40^\circ}\approx3\;\Rightarrow\;B_2(3|0)$
Damit kann dann die Raute $A B_{2} C D_{2}$ für $\varphi=80^\circ$ gezeichnet werden.
Eingezeichnete Raute $A B_{2} C D_{2}$
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Für die Zeichnung braucht man die Länge der halben Diagonalen $\overline{D_2B_2}$ , die im rechten oberen Dreieck mit dem Tangens berechnet werden kann.
Mit dieser Länge kann dann die Raute $A B_{2} C D_{2}$ gezeichnet werden.
Zeigen Sie, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$u(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute
Zeige, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $u(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$
Der Umfang der Raute ist:
$u=4\cdot |\overline{AB_n}|$
Berechnung von $|\overline{AB_n}|$ mithilfe des Sinus
Im unteren rechtwinkligen Dreieck $O A B_{2}$ gilt:
$\sin(0{,}5\varphi)=\dfrac{0{,}5\cdot|\overline{AC}|}{|\overline{AB_n}|}=\dfrac{2{,}5\;\mathrm{cm}}{|\overline{AB_n}|}\;$
$\Rightarrow\;|\overline{AB_n}|(\varphi)=\dfrac{2{,}5}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$ für $\varphi \in\;]0^\circ;180^\circ[$
Damit erhält man für $u$ :
$u=4\cdot |\overline{AB_n}|=4\cdot\dfrac{2{,}5}{\sin(0{,}5\varphi)}=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$
Damit ist gezeigt, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $u(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$ .
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Der Umfang der Raute ist $u=4\cdot |\overline{AB_n}|$ .
Berechne im unteren rechtwinkligen Dreieck $|\overline{AB_n}|$ mithilfe des Sinus.

Der Umfang der Raute $A B_{3} C D_{3}$ ist um $15 %$ kleiner als der Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ .

Berechnen Sie das zugehörige Maß $\varphi$ des Winkels $C B_{3} A$ .

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent- und Zinsrechnung

Berechne den Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ für $\varphi=110^\circ$ .

$u(110^\circ)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\cdot110^\circ)}\approx12{,}21\;\mathrm{cm}$

Berechne das zugehörige Maß $\varphi$ des Winkels $C B_{3} A$

Der Umfang der Raute $A B_{3} C D_{3}$ ist um $15 %$ kleiner als der Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ , d.h. der Umgang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ muss mit $0,85$ multipliziert werden, um den Umfang der Raute $A B_{3} C D_{3}$ zu erhalten.

$\Rightarrow\;0{,}85\cdot12{,}21=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}$ mit $\varphi \in\;]0^\circ;180^\circ[$

Löse die Gleichung nach $\varphi$ auf:

$\displaystyle 0{,}85\cdot12{,}21$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}$	$\displaystyle \cdot \sin(0{,}5\varphi)$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf.
$\displaystyle 0{,}85\cdot12{,}21\cdot\sin(0{,}5\varphi)$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :(0{,}85\cdot12{,}21)$
$\displaystyle \sin(0{,}5\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10}{0{,}85\cdot12{,}21}$	$\displaystyle \sin^{-1}()$
$\displaystyle 0{,}5\varphi$	$=$	$\displaystyle \sin^{-1}\left(\dfrac{10}{0{,}85\cdot12{,}21}\right)$
$\displaystyle 0{,}5\varphi$	$\approx ≈$	$\displaystyle 74{,}48^\circ$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle \varphi$	$\approx ≈$	$\displaystyle 148{,}96^\circ$

\displaystyle L=\{148{,}96^\circ\}

Das zugehörige Maß $\varphi$ des Winkels $C B_{3} A$ beträgt rund $148{,}96^\circ$ .

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2

Aufgabe B 2

Kongruente, gleichschenklige Dreiecke $A_{n} B_{n} C$ und $C D_{n} E_{n}$ besitzen den gemeinsamen Punkt $C$ . Diese Dreiecke haben die Basen $\overline{A_nB_n}$ und $\overline{D_nE_n}$ mit den Mittelpunkten $S_{n}$ und $T_{n}$ .

Es gilt: $|\overline{A_nB_n}| =|\overline{D_nE_n}| = 6\;\mathrm{cm}$ .

Die Winkel $E_{n} C A_{n}$ und $B_{n} C D_{n}$ haben jeweils das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;180^\circ[$ .

Die nebenstehende Skizze zeigt die Dreiecke $A_{1} B_{1} C$ und $C D_{1} E_{1}$ für $\varphi= 100^\circ$ .

Die Dreiecke $A_{n} B_{n} C$ und $C D_{n} E_{n}$ rotieren um die Gerade $S_{n} T_{n}$ . In der Skizze ist der Axialschnitt des für $\varphi=100^\circ$ entstehenden Rotationskörpers grau eingefärbt.
Berechnen Sie die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ sowie das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ .
$\big[$ Ergebnisse: $|\overline{CT_n}| (\varphi)=3\cdot \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}$ ; $V(\varphi)= 18\cdot \pi\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3\big]$ (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Berechne die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$
Die Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Im oberen Dreieck gilt:
$\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)=\dfrac{|\overline{CT_n}|}{|\overline{E_nT_n}|}$
Dabei ist $|\overline{E_nT_n}|=0{,}5\cdot |\overline{D_nE_n}|=0{,}5\cdot6=3\;\mathrm{cm}$ .
$\Rightarrow\;|\overline{CT_n}|(\varphi)=|\overline{E_nT_n}|\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)=3\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) \mathrm{cm}$
Die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ lautet:
$\displaystyle |\overline{CT_n}|(\varphi)=3\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) \mathrm{cm}$
Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers
$V=2\cdot V_{\text{Kegel}}$
$V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Kreis $G= \pi \cdot r^2$ mit $r=3\;\mathrm{cm}$ und $h=|\overline{CT_n}|(\varphi)$ .
Dann folgt für das gesuchte Volumen:
$V(\varphi)=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot3\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=18\cdot\pi\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3$
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers ist $V(\varphi)=18\cdot\pi\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3$
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Teil 1
Berechne $\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)$ und löse nach $|\overline{CT_n}|$ auf.
Teil 2
Es ist $V=2\cdot V_{\text{Kegel}}$ mit $V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$ .
Die Grundfläche ist ein Kreis und die Höhe $h$ ist $h=|\overline{CT_n}|(\varphi)$ .
Die Dreiecke $A_{2} B_{2} C$ und $C D_{2} E_{2}$ sind gleichseitig.
Berechnen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (1,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Bekannt ist, dass die Dreiecke $A_{2} B_{2} C$ und $C D_{2} E_{2}$ gleichseitig sind.
Für den Winkel gilt dann:
$\dfrac{\varphi}{2}=60^\circ \;\Rightarrow\;\varphi=120^\circ$
$\Rightarrow\;V(120^\circ) =18\cdot\pi\cdot\tan\left(\dfrac{120^\circ}{2}\right) \approx 97{,}95$
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers beträgt rund $97{,}95\;\mathrm{cm}^3$ .
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Beachte, dass im gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich $60^\circ$ sind.
Berechne $V(120^\circ)$ .

3

Aufgabe B 3

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y =-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y =1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)+1\;\;(x,y \in\mathbb{R})$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\mathrm{cm}$ ; $-3 \leq x \leq 10; -5 \leq y \leq 7$ (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$

Gegeben ist $y =-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$ .

Für die Berechnung der Nullstelle setze $y = 0$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$	$\displaystyle +1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle \log_{0{,}5} (x + 3)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{3}$	$\displaystyle {0{,}5}^{()}$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^{\frac{2}{3}}$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^{\frac{2}{3}}-3$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle -2{,}37$

\displaystyle L=\{-2{,}37\}

Die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ liegt etwa bei $x = - 2,37$ .

Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen in den angegebenen Intervallen. Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die beiden Funktionen.

$f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$

$x$	-2,5	-2,37	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$- 0,52$	$0$	$1,87$	$2,98$	$3,38$	$4$	$4,48$	$5,21$	$5,75$	$6,19$	$6,55$

$f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$

$x$	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$2,49$	$0,13$	$- 0,5$	$- 1,38$	$- 2$	$- 2,88$	$- 3,5$	$- 3,98$	$- 4,38$

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Punkte $A_n (x |-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit den Punkten $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ sind sie für $- 1,38 < x < 9$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ .
Zeichnen Sie das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein
Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $A_1(-0{,}5|f_1(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{1} (6))$ .
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $B_2(-0{,}5|f_2(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Eingezeichnete Trapeze $A_{1} B_{1} C D$ und $A_{2} B_{2} C D$
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Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $A_1(-0{,}5|f_1(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{1} (6)) .$
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $B_2(-0{,}5|f_2(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Berechnen Sie das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$
Geben ist $D (9 ∣ 4)$ .
Berechne $\tan\sphericalangle B_2A_2D$ :
$\tan\sphericalangle B_2A_2D=\dfrac{x_D-x_{A_2}}{y_{A_2}-y_D}$ , dabei ist $A_2(6|-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (6 + 3)+1))\;\Rightarrow\;A_2(6|5{,}75)$
Dann folgt für den gesuchten Winkel:
$\tan\sphericalangle B_2A_2D=\dfrac{x_D-x_{A_2}}{y_{A_2}-y_D}=\dfrac{9-6}{5{,}75-4}=\dfrac{3}{1{,}75}$
$\Rightarrow\;\sphericalangle B_2A_2D=\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{1{,}75}\right)\approx59{,}74^\circ$
Das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ beträgt rund $59{,}74^\circ$ .
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Berechne $\tan\sphericalangle B_2A_2D$ .

Die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ lässt sich durch einen Term der Form $|\overline{A_nB_n}|(x)=\big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x^2 + bx + c)\big]\;\mathrm{LE}$ mit $b,c \in\mathbb{R}$ darstellen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Werte für $b$ und $c$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Bestimme rechnerisch die Werte für $b$ und $c$

Gegeben ist $|\overline{A_nB_n}|(x)=\big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x^2 + bx + c\big]\;\mathrm{LE}$ mit $x \in\mathbb{R}$ und $- 1,38 < x < 9$ . Weiterhin gegeben sind $A_n (x |-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1)$ und $B_n(x|1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)+1)$ .

Dann ist $|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{A_n}-y_{B_n}=\big[-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1-(1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+2)+1)\big]$ .

$\displaystyle \|\overline{A_nB_n}\|(x)$	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1-(1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+2)+1)\big]$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+3)+1-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)-1\big]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+3)-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)\big]$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}(x+3)+ \log_{0{,}5} (x + 2)\big]$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left((x+3)\cdot(x+2)\right)\big]$
	↓	Rechne das Produkt aus.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left(x^2+2x+3x+6\right)\big]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left(x^2+5x+6\right)\big]$

Der Vergleich mit dem gegebenen Term liefert die gesuchten Werte.

Die Werte für $b$ und $c$ sind $b = 5$ und $c = 6$ .

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Begründen Sie rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt. (3,5 P)

4

Aufgabe B 4

Die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ .

Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $\overline{MS}$ .

Es gilt: $|\overline{AC}|= 12\;\mathrm{cm} ; |\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm} ; |\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}; |\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}; \omega=45^\circ$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $\overline{SC}$ und das Maß des Winkels $M S C$ .
$[$ Teilergebnisse: $|\overline{SC}|=10{,}63\;\mathrm{cm}; \sphericalangle MSC= 48{,}81^\circ]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$ .
Pyramide $A B C D S$
Berechne die Länge der Strecke $\overline{SC}$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Benutze den Satz des Pythagoras.
Hier gilt:
$|\overline{CM}|^2+|\overline{MS}|^2=|\overline{SC}|^2\;\Rightarrow\;\sqrt{8^2+7^2}=|\overline{SC}|$
$|\overline{SC}|\approx 10{,}63\;\mathrm{cm}$
Die Länge der Strecke $\overline{SC}$ beträgt rund $10{,}63\;\mathrm{cm}$ .
Berechne das Maß des Winkels $M S C$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ . Benutze den Tangens:
$\tan\sphericalangle MSC=\dfrac{|\overline{CM}|}{|\overline{MS}|}=\dfrac{8}{7}\;\Rightarrow\;\sphericalangle MSC=\tan^{-1}\left(\dfrac{8}{7}\right)\approx48{,}81^\circ$
Das Maß des Winkels $M S C$ beträgt rund $48{,}81^\circ$ .
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Teil 1
Zeichne die Pyramide, beachte für die Strecke $\overline{BD}$ : $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega= 45^\circ$ .
Teil 2
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Streckenlänge: Benutze den Satz des Pythagoras.
Teil 3
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $S C M$ .
Winkelberechnung: Benutze den Tangens.
Punkte $E_{n}$ liegen auf der Strecke $\overline{MC}$ . Die Winkel $M S E_{n}$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ . Für Punkte $P_n \in\overline{SE_n}$ gilt: $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel konstruieren
Zeichne die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Trage im Punkt $S$ den Winkel $\varphi=40^\circ$ an die Strecke $\overline{MS}$ an.
Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $E_{1}$ .
Zeichne einen Kreis um $S$ mit dem Radius $r=6\mathrm{\ cm}$ .
Du erhältst den Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Anmerkung: Der Kreis um $S$ ist in der Abbildung nicht dargestellt, nur sein Schnittpunkt $P_{1}$ mit der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Pyramide mit eingezeichneten Punkten $E_{1}$ , $P_{1}$ und $\overline{SE_1}$
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Trage im Punkt $S$ den Winkel $\varphi=40^\circ$ an die Strecke $\overline{MS}$ an.
Der freie Schenkel schneidet die Strecke $\overline{AC}$ im Punkt $E_{1}$ .
Zeichne einen Kreis um $S$ mit dem Radius $r=6 ;\mathrm{cm}$ .
Du erhältst den Punkt $P_{1}$ auf der Strecke $\overline{SE_1}$ .
Punkte $T_{n}$ sind die Fußpunkte der Lote von den Punkten $P_{n}$ auf die Strecke $\overline{MS}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$ . (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele Geraden konstruieren
Zeichne die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne eine zur Strecke $\overline{AC}$ parallele Strecke, die im Punkt $P_{1}$ beginnt und im Punkt $T_{1}$ endet.
Pyramide mit Strecke $\overline{P_1T_1}$
Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$
Bekannt sind $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ und $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$
Außerdem gilt:
$|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|$
Für den $\cos\varphi$ im rechtwinkligen Dreieck $S P_{n} T_{n}$ gilt dann:
$\cos\varphi=\dfrac{|\overline{ST_n}|}{ |\overline{SP_n}|}=\dfrac{|\overline{ST_n}|}{ 6 \;\mathrm{cm}}\;\Rightarrow\;|\overline{ST_n}|(\varphi)=6\cdot \cos\varphi \;\mathrm{cm}$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$
Dann erhält man:
$|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$
Ergebnis: $|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ mit $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$
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Teil 1
Zeichne eine zur Strecke $\overline{AC}$ parallele Strecke, die im Punkt $P_{1}$ beginnt und im Punkt $T_{1}$ endet.
Teil 2
Bekannt sind $|\overline{SP_n}| = 6 \;\mathrm{cm}$ und $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ und es gilt: $|\overline{MT_n}|=|\overline{MS}|-|\overline{ST_n}|$
Berechne den $\cos\varphi$ im rechtwinkligen Dreieck $S P_{n} T_{n}$ .
Unter den Strecken $\overline{MT_n}$ hat die Strecke $\overline{MT_0}$ die maximale Länge.
Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
Gib den zugehörigen Wert für $\varphi$ an
Je kleiner der Winkel $\varphi$ wird, desto kleiner wird die Strecke $\overline{MT_n}$ .
Anderseits wird die Strecke $\overline{MT_n}$ maximal, wenn $\varphi$ maximal wird.
Der maximale Wert, den $\varphi$ annehmen kann, ist $\varphi=\sphericalangle MSC= 48{,}81^\circ$
(siehe Aufgabe a).
Für $\varphi= 48{,}81^\circ$ hat die Strecke $\overline{MT_0}$ die maximale Länge.
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Die Strecke $\overline{MT_n}$ wird maximal, wenn $\varphi$ maximal wird.
Siehe Aufgabe a).
Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $B C D P_{n}$ mit den Höhen $\overline{P_nF_n}$ $\left(F_n \in\overline{MC}\right)$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $P_{1} F_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ ein.
Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ (grün)
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ .
Dabei ist die Grundfläche $G$ ein Dreieck mit der Grundseite $|\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}$ und der Höhe $|\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm}$ .
$A_{\text{Dreieck}}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline{BD}|\cdot|\overline{CM}|=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 8=32\;\mathrm{cm}^2$
Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{P_nF_n}|=|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ .
Dann folgt für das Pyramidenvolumen:
$V(\varphi)=\dfrac{1}{3}\cdot 32\cdot (7-6\cdot \cos\varphi) =(74{,}67-64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
Das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ ist:
$\displaystyle V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$
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Teil 1
Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ ein.
Teil 2
$V_P=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche $G$ ist ein Dreieck mit der Grundseite $|\overline{BD}|= 8\;\mathrm{cm}$ und der Höhe $|\overline{CM}|= 8\;\mathrm{cm}$ .
Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{P_nF_n}|=|\overline{MT_n}|(\varphi)=(7-6\cdot \cos\varphi) \;\mathrm{cm}$ .

Das Volumen der Pyramide $B C D P_{2}$ beträgt $\dfrac{1}{5}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$

Das Pyramidenvolumen der Pyramide $A B C D S$ ist:

$V_{ABCDS}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Dabei ist die Grundseite ein Drachenviereck mit den beiden Diagonalen $|\overline{AC}|= 12\;\mathrm{cm}$ und $|\overline{BC}|= 8\;\mathrm{cm}$ .

$\Rightarrow\;G=A_{\text{Drache}}=\dfrac{1}{2}\cdot |\overline{AC}|\cdot |\overline{BC}|=\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot8=48\;\mathrm{cm}^2$

Die Pyramidenhöhe ist $|\overline{MS}|= 7\;\mathrm{cm}$ .

Dann folgt für das Pyramidenvolumen:

$V_{\text{ABCDS}}=\dfrac{1}{3}\cdot 48\cdot 7=112\;\mathrm{cm}^3$

Das Volumen der Pyramide $B C D P_{2}$ beträgt $\dfrac{1}{5}$ des Volumens der Pyramide $A B C D S$ .

Demnach hat die Pyramide $B C D P_{2}$ ein Volumen von:

$V_{BCDP_2}=\dfrac{112}{5}=22{,}4\;\mathrm{cm}^3$ .

Also gilt:

$V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3=22{,}4\;\mathrm{cm}^3$ für $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ .

Jetzt können wir das nach $\varphi$ umformen:

$\displaystyle 74{,}67-64\cdot\cos\varphi$	$=$	$\displaystyle 22{,}4$	$\displaystyle +64\cdot \cos\varphi$
$\displaystyle 74{,}67$	$=$	$\displaystyle 64\cdot \cos\varphi+22{,}4$	$\displaystyle -22{,}4$
$\displaystyle 52{,}27$	$=$	$\displaystyle 64\cdot\cos\varphi$	$\displaystyle :64$
$\displaystyle \dfrac{52{,}27}{64}$	$=$	$\displaystyle \cos\varphi$

$\cos\varphi=\dfrac{52{,}27}{64}\;\Rightarrow\;\varphi=\cos^{-1}\left(\dfrac{52{,}27}{64}\right)\approx35{,}24^\circ$

$L=\{35{,}24^\circ\}$

Der zugehörige Wert für $\varphi$ beträgt rund $35{,}24^\circ$ .

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Das Dreieck $S P_{3} C$ ist gleichschenklig.

Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$

Das Dreieck $S P_{3} C$ ist gleichschenklig.

Demnach sind $|\overline{SP_3}|=|\overline{P_3C}|= 6\;\mathrm{cm}$ .

Benutze zur Berechnung des Winkels $\varphi$ den Kosinussatz:

$\cos(\gamma)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Der Winkel $\gamma$ ist hier der Winkel $\sphericalangle P_3SC=48{,}81 ^\circ-\varphi$ .

Die Seite $a=|\overline{SC}|= 10{,}63\;\mathrm{cm}$ , die Seite $b=|\overline{SP_3}|= 6\;\mathrm{cm}$ und die Seite $c=|\overline{P_3C}|= 6\;\mathrm{cm}$ .

Damit folgt:

$\cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)=\dfrac{10{,}63^2+6^2-6^2}{2\cdot 10{,}63\cdot6}$ für $\varphi\in [0^\circ; 48{,}81^\circ]$ .

Wieder formen wir nach $\varphi$ um:

$\displaystyle \cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}63^2+6^2-6^2}{2\cdot 10{,}63\cdot6}$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \cos(48{,}81 ^\circ-\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10{,}63}{12}$	$\displaystyle \cos^{-1}()$
	↓	Löse nach $\varphi$ auf.
$\displaystyle 48{,}81 ^\circ-\varphi$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\dfrac{10{,}63}{12}\right)$
$\displaystyle 48{,}81 ^\circ-\varphi$	$\approx ≈$	$\displaystyle 27{,}65^\circ$	$\displaystyle +\varphi-27{,}65^\circ$
$\displaystyle 21{,}16^\circ$	$\approx ≈$	$\displaystyle \varphi$

$L=\{21{,}16^\circ\}$

Der zugehörige Wert für $\varphi$ beträgt rund $21{,}16^\circ$ .

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$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$	$\displaystyle :(-1{,}5)$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5} (x + 3)$	$\displaystyle 0{,}5^{()}$
$\displaystyle 0{,}5^{-2}$	$=$	$\displaystyle x+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 0{,}5^{-2}-3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 4-3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle x$

Nachtermin Teil B

Aufgabe B 1

Berechnung der Länge der halben Diagonalen D2B2‾\overline{D_2B_2}D2​B2​​,

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Zeige, dass für den Umfang uuu der Rauten ABnCDnAB_nCD_nABn​CDn​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: u(φ)=10sin⁡(0,5φ) cmu(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}u(φ)=sin(0,5φ)10​cm

Berechnung von ∣ABn‾∣|\overline{AB_n}|∣ABn​​∣ mithilfe des Sinus

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Berechne den Umfang der Raute AB1CD1AB_1CD_1AB1​CD1​ für φ=110∘\varphi=110^\circφ=110∘.

Berechne das zugehörige Maß φ\varphiφ des Winkels CB3ACB_3ACB3​A

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Aufgabe B 2

Berechne die Länge der Strecken CTn‾\overline{CT_n}CTn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ

Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers

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Aufgabe B 3

Berechne die Nullstelle der Funktion f1f_1f1​

Zeichne den Graphen zu f1f_1f1​ für x∈[−2,5;10]x\in[-2{,}5;10]x∈[−2,5;10] sowie den Graphen zu f2f_2f2​ für x∈[−1,5;10]x\in[-1{,}5;10]x∈[−1,5;10] in ein Koordinatensystem

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Zeichne das Trapez A1B1CDA_1B_1CDA1​B1​CD für x=−0,5x =-0{,}5x=−0,5 und das Trapez A2B2CDA_2B_2CDA2​B2​CD für x=6x= 6x=6 in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

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Berechne das Maß des Winkels B2A2DB_2A_2DB2​A2​D

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Bestimme rechnerisch die Werte für bbb und ccc

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Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen AnBnCDA_nB_nCDAn​Bn​CD kein Rechteck A3B3CDA_3B_3CDA3​B3​CD gibt

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Aufgabe B 4

Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDSABCDS, wobei die Strecke AC‾\overline{AC}AC auf der Schrägbildachse und der Punkt AAA links vom Punkt CCC liegen soll

Berechne die Länge der Strecke SC‾\overline{SC}SC

Berechne das Maß des Winkels MSCMSCMSC

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Zeichne die Strecke SE1‾\overline{SE_1}SE1​​ sowie den Punkt P1P_1P1​ für φ=40∘\varphi=40^\circφ=40∘ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

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Zeichne die Strecke P1T1P_1T_1P1​T1​ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken MTn‾\overline{MT_n}MTn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: ∣MTn‾∣(φ)=(7−6⋅cos⁡φ) cm|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}∣MTn​​∣(φ)=(7−6⋅cosφ)cm

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Gib den zugehörigen Wert für φ\varphiφ an

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Zeichne die Pyramide BCDP1BCDP_1BCDP1​ und die Höhe P1F1‾\overline{P_1F_1}P1​F1​​ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Pyramide BCDP1BCDP_1BCDP1​ und die Höhe P1F1‾\overline{P_1F_1}P1​F1​​ (grün)

Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen VVVder Pyramiden BCDPnBCDP_nBCDPn​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ gilt: V(φ)=(74,67−64⋅cos⁡φ) cm3V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3V(φ)=(74,67−64⋅cosφ)cm3

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Berechne den zugehörigen Wert für φ\varphiφ

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Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für φ\varphiφ

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Berechnung der Länge der halben Diagonalen $\overline{D_2B_2}$ ,

Zeige, dass für den Umfang $u$ der Rauten $A B_{n} C D_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $u(\varphi)=\dfrac{10}{\sin(0{,}5\varphi)}\;\mathrm{cm}$

Berechnung von $|\overline{AB_n}|$ mithilfe des Sinus

Berechne den Umfang der Raute $A B_{1} C D_{1}$ für $\varphi=110^\circ$ .

Berechne das zugehörige Maß $\varphi$ des Winkels $C B_{3} A$

Berechne die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$

Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$

Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$

Bestimme rechnerisch die Werte für $b$ und $c$

Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $\overline{AC}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll

Berechne die Länge der Strecke $\overline{SC}$

Berechne das Maß des Winkels $M S C$

Zeichne die Strecke $\overline{SE_1}$ sowie den Punkt $P_{1}$ für $\varphi=40^\circ$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeichne die Strecke $P_{1} T_{1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Zeige sodann, dass für die Länge der Strecken $\overline{MT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $|\overline{MT_n}|(\varphi)= (7-6\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}$

Gib den zugehörigen Wert für $\varphi$ an

Zeichne die Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ in das Schrägbild zu Aufgabe a) ein

Pyramide $B C D P_{1}$ und die Höhe $\overline{P_1F_1}$ (grün)

Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(74{,}67 -64\cdot \cos\varphi)\;\mathrm{cm}^3$

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$

Bestimme rechnerisch den zugehörigen Wert für $\varphi$