Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 2

Kongruente, gleichschenklige Dreiecke $A_{n} B_{n} C$ und $C D_{n} E_{n}$ besitzen den gemeinsamen Punkt $C$ . Diese Dreiecke haben die Basen $\overline{A_nB_n}$ und $\overline{D_nE_n}$ mit den Mittelpunkten $S_{n}$ und $T_{n}$ .

Es gilt: $|\overline{A_nB_n}| =|\overline{D_nE_n}| = 6\;\mathrm{cm}$ .

Die Winkel $E_{n} C A_{n}$ und $B_{n} C D_{n}$ haben jeweils das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in \;]0^\circ;180^\circ[$ .

Die nebenstehende Skizze zeigt die Dreiecke $A_{1} B_{1} C$ und $C D_{1} E_{1}$ für $\varphi= 100^\circ$ .

Die Dreiecke $A_{n} B_{n} C$ und $C D_{n} E_{n}$ rotieren um die Gerade $S_{n} T_{n}$ . In der Skizze ist der Axialschnitt des für $\varphi=100^\circ$ entstehenden Rotationskörpers grau eingefärbt.
Berechnen Sie die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ sowie das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ .
$\big[$ Ergebnisse: $|\overline{CT_n}| (\varphi)=3\cdot \tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}$ ; $V(\varphi)= 18\cdot \pi\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3\big]$ (2,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Berechne die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$
Die Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Im oberen Dreieck gilt:
$\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)=\dfrac{|\overline{CT_n}|}{|\overline{E_nT_n}|}$
Dabei ist $|\overline{E_nT_n}|=0{,}5\cdot |\overline{D_nE_n}|=0{,}5\cdot6=3\;\mathrm{cm}$ .
$\Rightarrow\;|\overline{CT_n}|(\varphi)=|\overline{E_nT_n}|\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)=3\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) \mathrm{cm}$
Die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ lautet:
$\displaystyle |\overline{CT_n}|(\varphi)=3\cdot\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) \mathrm{cm}$
Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers
$V=2\cdot V_{\text{Kegel}}$
$V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Kreis $G= \pi \cdot r^2$ mit $r=3\;\mathrm{cm}$ und $h=|\overline{CT_n}|(\varphi)$ .
Dann folgt für das gesuchte Volumen:
$V(\varphi)=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^2\cdot3\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)=18\cdot\pi\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3$
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers ist $V(\varphi)=18\cdot\pi\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\mathrm{cm}^3$
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Teil 1
Berechne $\tan\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)$ und löse nach $|\overline{CT_n}|$ auf.
Teil 2
Es ist $V=2\cdot V_{\text{Kegel}}$ mit $V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$ .
Die Grundfläche ist ein Kreis und die Höhe $h$ ist $h=|\overline{CT_n}|(\varphi)$ .
Die Dreiecke $A_{2} B_{2} C$ und $C D_{2} E_{2}$ sind gleichseitig.
Berechnen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (1,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Bekannt ist, dass die Dreiecke $A_{2} B_{2} C$ und $C D_{2} E_{2}$ gleichseitig sind.
Für den Winkel gilt dann:
$\dfrac{\varphi}{2}=60^\circ \;\Rightarrow\;\varphi=120^\circ$
$\Rightarrow\;V(120^\circ) =18\cdot\pi\cdot\tan\left(\dfrac{120^\circ}{2}\right) \approx 97{,}95$
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers beträgt rund $97{,}95\;\mathrm{cm}^3$ .
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Beachte, dass im gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich $60^\circ$ sind.
Berechne $V(120^\circ)$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B 2

Berechne die Länge der Strecken CTn‾\overline{CT_n}CTn​​ in Abhängigkeit von φ\varphiφ

Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers

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Berechne die Länge der Strecken $\overline{CT_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$