Teil B: Stochastik

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zufällig ausgewählte Person höchstens $4040$ Jahre alt ist

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)P\_B(A)$.

Es gilt:

$P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,8}}{\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,8}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,5}}}\approx \mathrm{0,7887}P\_B(A)=\backslash dfrac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(B)\}=\backslash dfrac\{0\{,\}7\backslash cdot\; 0\{,\}8\}\{0\{,\}7\backslash cdot\; 0\{,\}8+0\{,\}3\backslash cdot\; 0\{,\}5\}\backslash approx0\{,\}7887$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person höchstens $4040$ Jahre alt ist, beträgt etwa $\mathrm{0,7887}0\{,\}7887$.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $100100$ zufällig ausgewählten Abonnenten genau $7070$ höchstens $4040$ Jahre alt sind

Gegeben sind "die Anzahl der höchstens 40-jährigen Abonnenten des Streamingdienstes ist binomialverteilt mit $p=\mathrm{0,7}p=0\{,\}7$" und $n=100n=100$ und $k=70k=70$.

Berechne $P_{100;0,7}(X=70)P\_\{100\; ;\backslash ;0,\; 7\}(X=70)$:

$P_{100;0,7}(X=70)\approx \mathrm{0,0868}P\_\{100\; ;\backslash ;0,\; 7\}(X=70)\; \backslash approx\; 0\{,\}0868$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $100100$ zufällig ausgewählten Abonnenten genau $7070$ höchstens $4040$ Jahre alt sind, beträgt rund $\mathrm{0,0868}0\{,\}0868$.

Bestimme die Anzahl der Abonnenten, die man mindestens zufällig auswählen müsste, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\mathrm{\%}99\backslash \; \backslash \%$ mehr als $2020$ Personen älter sind als $4040$ Jahre

Es ist $ZZ$: Anzahl der Personen, die älter als $4040$ Jahre sind.

Gesucht ist $P_{n;\mathrm{0,3}}(Z\ge 21)\ge \mathrm{0,99}P\_\{n;\backslash ;0\{,\}3\}(Z\backslash geq\; 21)\backslash geq\; 0\{,\}99$.

$P_{n;\mathrm{0,3}}(Z\ge 21)=\text{binomCdf}(n,0.3,21,\mathrm{\infty })\ge \mathrm{0,99}P\_\{n;\backslash ;0\{,\}3\}(Z\backslash geq\; 21)=\backslash text\{binomCdf\}(n,\; 0.3,\; 21,\; \backslash infty)\backslash geq\; 0\{,\}99$

Berechne für einige Werte von $nn$ diesen Ausdruck.

$n=104\Rightarrow \text{binomCdf}(104,0.3,21,\mathrm{\infty })\approx \mathrm{0,9910}>\mathrm{0,99}\mathrm{✓}n=104\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash text\{binomCdf\}(104,\; 0.3,\; 21,\; \backslash infty)\backslash approx\; 0\{,\}9910>0\{,\}99\backslash ;\backslash checkmark$

Es müssen also mindestens $104104$ Personen ausgewählt werden, damit unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\mathrm{\%}99\backslash \; \backslash \%$ mehr als $2020$ Personen älter sind als $4040$ Jahre.

Ermittele, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist

Gegeben: "Die Zufallsgröße $YY$: Anzahl der nach dem Probebetrieb zufriedenen Abonnenten unter den Befragten wird durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n=200n=200$ und $pp$ modelliert."

Weiterhin gegeben: "Von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten wird ausgegangen, wenn von den $200200$ Abonnenten mindestens $132132$ zufrieden sind."

Berechne $P_{200;\mathrm{0,6}}(Y\ge 132)=\text{binomCdf}(200,0.6,132,\mathrm{\infty })\approx \mathrm{0,0475}P\_\{200\; ;\backslash ;\; 0\{,\}6\}(Y\; \backslash geq\; 132)=\backslash text\{binomCdf\}(200,\; 0.6,\; 132,\; \backslash infty)\; \backslash approx\; 0\{,\}0475$.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist, beträgt rund $\mathrm{0,0475}0\{,\}0475$.

(i) Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65\mathrm{\%}65\backslash \; \backslash \%$ gestiegen ist

Gegeben: $n=200,p=\mathrm{0,65}n=200,\; p=0\{,\}65$ und , also $Y\le 131Y\backslash leq\; 131$ Berechne .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65\mathrm{\%}65\backslash \; \backslash \%$ gestiegen ist, beträgt rund $\mathrm{0,5852}0\{,\}5852$.

(ii) Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) (i) in der Abbildung

Aus a): $P_{200;\mathrm{0,6}}(Y\ge 132)P\_\{200\; ;\backslash ;\; 0\{,\}6\}(Y\; \backslash geq\; 132)$, also müssen alle Balken ab $132132$ markiert werden.

Aus b) (i): , also müssen alle Balken bis $131131$ markiert werden.

(iii) Beurteile diesen Vorschlag

Gegeben ist: "Er schlägt vor, die Maßnahme bereits bei mindestens $125125$ mit dem Angebot zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen."

Die Maßnahme bereits bei einer geringeren Anzahl von zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen, wäre tatsächlich geeignet, die Wahrscheinlichkeit des in (i) beschriebenen Fehlers zu verkleinern.

Jedoch würde sich auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit dafür, fälschlicherweise von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten auszugehen (vgl. (a)), deutlich erhöhen.

Nach (i) gilt:

Wenn $k=125k=125$ ist, dann folgt: ⁣, d.h. die Wahrscheinlichkeit des in (i) beschriebenen Fehlers wird kleiner.

Andererseits ist aber $P_{200;\mathrm{0,6}}(Y\ge 125)=\text{binomCdf}(200,0.6,125,\mathrm{\infty })\approx \mathrm{0,2590}P\_\{200\; ;\backslash ;\; 0\{,\}6\}(Y\; \backslash geq\; 125)=\backslash text\{binomCdf\}(200,\; 0.6,\; 125,\; \backslash infty)\; \backslash approx\; 0\{,\}2590$ also deutlich größer als $\mathrm{0,0475}0\{,\}0475$ (siehe a).