Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Punkte $B (4 ∣ 3 ∣ 12)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ 10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D$ , dessen Diagonalen sich im Punkt $M (3 ∣ 2 ∣ 1)$ schneiden.

Verschiebt man jeden der Punkte $A, B, C, D$ und $M$ parallel zur $x_{3}$ -Achse in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene, so ergeben sich die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ bzw. $M^{\prime}$ . Das Viereck $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $M^{\prime}$ schneiden.
Zeichnen Sie $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ in Abbildung 4 ein. $(3 P)$
Abbildung 4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ ein
In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte:
$B^{'} (4 ∣ 3)$ , $C^{'} (2 ∣ 4)$ und $M^{'} (3 ∣ 2)$
Den Punkt $A^{'}$ erhält man, indem die Strecke $\overline{C'M'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\;\Rightarrow\;A'(4|0)$ .
Den Punkt $D^{'}$ erhält man, indem die Strecke $\overline{B'M'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\;\Rightarrow\;D'(2|1)$ .
Verbinde die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ zu einem Parallelogramm.
Abbildung 4 mit Parallelogramm
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In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte $B^{'} (4 ∣ 3)$ , $C^{'} (2 ∣ 4)$ und $M^{'} (3 ∣ 2)$ .
Die Punkte $A^{'}$ und $D^{'}$ kannst Du über die Diagonalen konstruieren.
Verbinde die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ zu einem Parallelogramm.
Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -9\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Wert des Skalarprodukts $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$
Berechne das Skalarprodukt: $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -9\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)=1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-9)\cdot 2=2+2-18=-14<0$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$ hat den Wert $- 14$ .
Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$
Das Skalarprodukt ist negativ. Damit ist der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ größer als $90^{\circ}$ .
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Berechne das Skalarprodukt.
Ist das Ergebnis kleiner null, dann ist der Winkel größer als $90^{\circ}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne A′B′C′D′A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}A′B′C′D′ und M′M^{\prime}M′ ein

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Berechne den Wert des Skalarprodukts CM→∘CB→\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}CM∘CB

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren CM→\overrightarrow{C M}CM und CB→\overrightarrow{C B}CB kleiner ist als 90∘90^{\circ}90∘

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Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ ein

Berechne den Wert des Skalarprodukts $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$