Teil A: Wahlpflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die Punkte $B (4 | 3 | 12)$ und $C (2 | 4 | 10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D$ , dessen Diagonalen sich im Punkt $M (3 | 2 | 1)$ schneiden.

Verschiebt man jeden der Punkte $A, B, C, D$ und $M$ parallel zur $x_{3}$ -Achse in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene, so ergeben sich die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ bzw. $M^{'}$ . Das Viereck $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $M^{'}$ schneiden.
Zeichnen Sie $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ in Abbildung 4 ein. $(3 P)$
Abbildung 4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ ein
In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte:
$B^{'} (4 | 3)$ , $C^{'} (2 | 4)$ und $M^{'} (3 | 2)$
Den Punkt $A^{'}$ erhält man, indem die Strecke $C^{'} M^{'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\Rightarrow A^{'} (4 | 0)$ .
Den Punkt $D^{'}$ erhält man, indem die Strecke $B^{'} M^{'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\Rightarrow D^{'} (2 | 1)$ .
Verbinde die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ zu einem Parallelogramm.
Abbildung 4 mit Parallelogramm
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In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte $B^{'} (4 | 3)$ , $C^{'} (2 | 4)$ und $M^{'} (3 | 2)$ .
Die Punkte $A^{'}$ und $D^{'}$ kannst Du über die Diagonalen konstruieren.
Verbinde die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ zu einem Parallelogramm.
Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechne den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B}$
Berechne das Skalarprodukt: $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 1) + (- 9) \cdot 2 = 2 + 2 - 18 = - 14 < 0$
Das Skalarprodukt von $\vec{C M} \circ \vec{C B}$ hat den Wert $- 14$ .
Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$
Das Skalarprodukt ist negativ. Damit ist der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ größer als $90^{\circ}$ .
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Berechne das Skalarprodukt.
Ist das Ergebnis kleiner null, dann ist der Winkel größer als $90^{\circ}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne A′B′C′D′ und M′ ein

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Berechne den Wert des Skalarprodukts CM→∘CB→

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren CM→ und CB→ kleiner ist als 90∘

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Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ ein

Berechne den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B}$

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$