Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, $18\mathrm{\%}18\backslash ;\backslash \%$ beträgt

Gegeben ist $p_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=\mathrm{0,1}p\_\{\backslash text\{grün\}\}=0\{,\}1$ und $p_{\text{nicht gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}p\_\{\backslash text\{nicht\; grün\}\}=1-0\{,\}1=0\{,\}9$

$P(\text{„ genau einmal ein gr}\ddot{\text{u}}\text{ner Sektor “})=P(g\bar{g})+P(\bar{g}g)=2\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,18}P(\backslash text\{„\; genau\; einmal\; ein\; grüner\; Sektor\; “\})=P(g\backslash overline\{g\})+P(\backslash overline\{g\}g)=2\; \backslash cdot\; 0\{,\}1\; \backslash cdot\; 0\{,\}9=0\{,\}18$.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel genau einmal einen grünen Sektor zu erzielen, beträgt $18\mathrm{\%}18\backslash ;\backslash \%$.

Begründe, dass der Veranstalter der Spendengala erwarten kann, mit diesem Spiel auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen

Berechne den Erwartungswert:

Für den Erwartungswert $E(X)E(X)$ der Zufallsgröße $XX$ : „Auszahlung bei einem Spiel“ gilt: $E(X)={\mathrm{0,9}}^2\cdot 0\text{€}+\mathrm{0,18}\cdot 10\text{€}+{\mathrm{0,1}}^2\cdot 20\text{€}=\mathrm{1,8}\text{€}+\mathrm{0,2}\text{€}=2\text{€}E(X)\; =0\{,\}9^\{2\}\; \backslash cdot\; 0\; \backslash ;€+0\{,\}18\; \backslash cdot\; 10\backslash ;\; €+0\{,\}1^\{2\}\; \backslash cdot\; 20\; \backslash ;€\; =1\{,\}8\backslash ;\; €+0\{,\}2\backslash ;\; €=2\; \backslash ;€$

Der Erwartungswert der Auszahlung $2\text{€}2\backslash ;€$ bei diesem Spiel ist kleiner als der Einsatz $3\text{€}3\; \backslash ;€$ bei einem Spiel. Der Veranstalter kann daher erwarten, auf lange Sicht mehr Geld einzunehmen als auszuzahlen.