Berechnen des jährlichen Zuwachses in Prozent.

Die Formel zur Berechnung des exponentiellen Wachstum lautet:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}};\mathrm{a}=(1+\mathrm{p})\backslash mathrm\{N(t)=N\_0\backslash cdot\; a^t\backslash \; ;\backslash qquad\; a=(1+p)\}$

Die folgenden Größen sind bekannt:

${\mathrm{N}}_0=88\backslash mathrm\{N\_0=88\}$ Millionen; $\mathrm{N}(\mathrm{t})=101\backslash mathrm\{\backslash qquad\; N(t)=101\}$ Millionen;$\mathrm{t}=9\backslash mathrm\{\backslash qquad\; t=9\}$ Jahre

Wir berechnen $\text{a}\backslash text\{a\}$, indem wir die Werte in die Formel einsetzen:

$101=88\cdot {\mathrm{a}}^9\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{101}{88}}}\backslash mathrm\{101=88\backslash cdot\; a^9\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a=\backslash sqrt[9]\{\backslash dfrac\{101\}\{88\}\}\}$

$\mathrm{a}\approx \mathrm{1,0154}\backslash mathrm\{a\backslash approx1\{,\}0154\}$

Jetzt können wir den Zuwachs $\text{p}\backslash text\{p\}$ in Prozent berechnen:

$\mathrm{a}=(1+\mathrm{p})\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{a}-1\backslash mathrm\{a=(1+p)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; p=a-1\}$

$\mathrm{p}=\mathrm{1,0154}-1\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{0,0154}\backslash mathrm\{p=1\{,\}0154-1\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; p=0\{,\}0154\}$

Der jährliche Zuwachs beträgt dann: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{1,54}\mathrm{\%}}}\backslash boxed\{1\{,\}54\backslash \; \backslash \%\}$

Berechnen der Zahl der Übernachtungen nach zwei Jahren.

Die Formel zur Berechnung des exponentiellen Zerfalls lautet:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}};\mathrm{a}=(1-\mathrm{p})\backslash mathrm\{N(t)=N\_0\backslash cdot\; a^t\backslash \; ;\backslash qquad\; a=(1-p)\}$

Die folgenden Größen sind bekannt:

${\mathrm{N}}_0=101\backslash mathrm\{N\_0=101\}$ Millionen;$\mathrm{p}=\mathrm{22,3}\mathrm{\%};\backslash quad\; \backslash mathrm\{p=22\{,\}3\backslash \; \backslash \%\};$ $\mathrm{t}=2\backslash quad\backslash mathrm\{t=2\}$ Jahre

berechnen von $\text{a}\backslash text\{a\}$

$\mathrm{a}=1-\mathrm{0,223}\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{0,777}\backslash mathrm\{a=1-0\{,\}223\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a=0\{,\}777\}$

berechnen von $\mathrm{N}(2)\backslash mathrm\{N(2)\}$

$\mathrm{N}(2)=101\cdot {\mathrm{0,777}}^2\Rightarrow \mathrm{N}(2)=\mathrm{60,98}\backslash mathrm\{N(2)=101\backslash cdot\; 0\{,\}777^2\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; N(2)=60\{,\}98\}$

Die Zahl der Übernachtungen nach diesen zwei Jahren im Jahr 2021

beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle 61}}\backslash boxed\{61\}$ Millionen

Berechnen Anzahl Jahre.

Zur Berechnung der Anzahl der Jahre verwenden wir die Formel aus Teilaufgabe a.)

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}}\backslash mathrm\{N(t)=N\_0\backslash cdot\; a^t\}$

Die folgenden Größen sind bekannt:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})=101\backslash mathrm\{N(t)=101\}$ Millionen; ${\mathrm{N}}_0=62\backslash quad\backslash mathrm\{N\_0=62\}$ Millionen; $\mathrm{a}=1+\mathrm{0,0165}=\mathrm{1,0165}\backslash quad\backslash mathrm\{a=1+0\{,\}0165=1\{,\}0165\}$

berechnen von $\text{t}\backslash text\{t\}$

$101=62\cdot {\mathrm{1,0165}}^{\mathrm{t}}\Rightarrow \mathrm{t}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{g}101-\mathrm{l}\mathrm{g}62}{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1,0165}}}\backslash mathrm\{101=62\backslash cdot\; 1\{,\}0165^t\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; t=\backslash dfrac\{lg101-lg62\}\{lg1\{,\}0165\}\}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{t}\approx 30}}\backslash hspace\{35mm\}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{t\backslash approx30\}\}$

Bei einem jährlichen Zuwachs von $\mathrm{1,65}\mathrm{\%}1\{,\}65\backslash \; \backslash \%$ dauert es ungefähr

$3030$ Jahre bis die Übernachtungszahl von $101101$ Millionen wieder erreicht wird.