Teil B-Aufgabengruppe I

Ermitteln der Funktionsgleichung der Geraden ${\mathrm{g}}_1$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}$

Berechnen der Steigung$\text{ m}$ .

$${\displaystyle \mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1}\Rightarrow \mathrm{m}=\frac{-5-(-3)}{3-1}=\frac{-2}{2}}$$

$\mathrm{m}=-1$

Einsetzen von$\text{ m}$ und der Koordinaten, z.B. des Punktes $\text{A}$, in die allgemeine Geradengleichung.

$-3=-1\cdot 1+\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{t}=-3+1$

$\mathrm{t}=-2$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_1$ lautet:

${\mathrm{g}}_1:\mathrm{y}=-\mathrm{x}-2$

Überprüfen, ob der Punkt $\text{C}$ auf ${\mathrm{g}}_2$ liegt.

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $\text{C}$ in die Geradengleichung:

${\mathrm{g}}_2:\mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$

$\mathrm{y}=3\cdot \mathrm{1,5}-3$

$\text{y}=\mathrm{4,5}-3$

$\mathrm{y}=\mathrm{1,5}\Rightarrow \mathrm{C}$ liegt auf der Geraden ${\mathrm{g}}_2$.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_3$.

Da ${\mathrm{g}}_3$ senkrecht auf ${\mathrm{g}}_2$ steht, gilt für die Steigung ${\mathrm{m}}_3$ der Geraden ${\mathrm{g}}_3$:

${\mathrm{m}}_2\cdot {\mathrm{m}}_3=-1$

${\mathrm{m}}_2=3$

ermitteln von ${\mathrm{m}}_3$

$3\cdot {\mathrm{m}}_3=-1\Rightarrow {\mathrm{m}}_3=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Einsetzen der Koordinaten des Punktes $\text{C}$ in die allgemeine Geradengleichung:

$-2=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 3+{\mathrm{t}}_3$

${\mathrm{t}}_3=-2+1\Rightarrow {\mathrm{t}}_3=-1$

Die Geradengleichung der Geraden ${\mathrm{g}}_3$ lautet dann:

${\mathrm{g}}_3:\mathrm{y}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{x}-1$

Berechnen der $\text{x}$-Koordinate des Schnittpunkts ${\mathrm{N}}_4$.

${\mathrm{g}}_4:\mathrm{y}=-\mathrm{x}-1$

setze $\mathrm{y}=0$

$0=-\mathrm{x}-1$

$\mathrm{x}=-1$

Die $\text{x}$-Koordinate des Schnittpunkts ${\mathrm{N}}_4$ ist dann:

$\mathrm{x}=-1$

​

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $\text{S}$ der Geraden ${\mathrm{g}}_2$ und ${\mathrm{g}}_4$.

${\mathrm{g}}_2:\mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$

${\mathrm{g}}_4:\mathrm{y}=-\mathrm{x}-1$

Einsetzen des $\text{x}$-Wertes in z. B. ${\mathrm{g}}_2$ (du kannst den x-Wert auch in ${\mathrm{g}}_4$ einsetzen}

und berechnen von $\text{y}$.

$\mathrm{y}=3\cdot \mathrm{0,5}-3$

$\mathrm{y}=\mathrm{1,5}-3$

$\mathrm{y}=-\mathrm{1,5}$

Die Koordinaten des Schnittpunktes $\text{S}$ sind dann:

$\mathrm{S}(\mathrm{0,5}|-\mathrm{1,5}$

Verändern einer Zahl in einer der beiden Funktionsgleichungen so, dass die beiden Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben.

${\mathrm{g}}_5:\mathrm{y}=\frac{3}{7}\mathrm{x}-3$

${\mathrm{g}}_6:\mathrm{y}=\frac{3}{7}\mathrm{x}-7$

Ändern der Steigung der Geraden ${\mathrm{g}}_6$ :

z. B.

${\mathrm{g}}_6:\mathrm{y}=4\mathrm{x}-7$

Hinweis:

Du kannst auch die $\text{y}$-Achsenabschnitte gleichsetzen, so dass gilt: ${\mathrm{t}}_5={\mathrm{t}}_6$.

Die Geraden liegen dann aufeinander und haben unendlich viele Punkte gemeinsam.

Einzeichnen der Geraden ${\mathrm{g}}_2$ und ${\mathrm{g}}_4$ in ein Koordinatensystem.

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $\text{ACD}$.

Zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks $\text{ABD}$ verwenden wir die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sphericalangle \mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{C}$

Wir berechnen zuerst $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$ mit dem Sinussatz.

Der Sinussatz, angewendet auf unser Dreieck, lautet:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}{\sin {118}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{53}{\sin \sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}}}$

Berechnen von $\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}$ .

$\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}={180}^{\circ }-{118}^{\circ }-{24}^{\circ }$

$\sphericalangle \mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}={38}^{\circ }$

Einsetzen der Werte in die Formel:

${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}{\sin {118}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{53}{\sin {38}^{\circ }}}\Rightarrow \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{53\cdot \sin {118}^{\circ }}{\sin {38}^{\circ }}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}=\mathrm{76,00}\text{ m}$

Berechnen des Flächeninhalts des Dreiecks $\text{ACD}$ .

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 76\cdot 53\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{24}^{\circ }$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}}=2014\cdot \mathrm{0,4067}[{\mathrm{m}}^2]$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}}\approx \mathrm{819,1}{\text{ m}}^2$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $\text{ACD}$ beträgt ungefähr: $819{\text{ m}}^2$

Einzeichnen der Strecke $\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}$

Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1$ in der Normalform.

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ist laut Abbildung: ${\mathrm{S}}_1(2|5)$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=-1$

ausmultiplizieren der Scheitelform:

$\mathrm{y}=-({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4)+5$

auflösen der Klammer und zusammenfassen:

$\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1$

die Normalform ist dann:

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1$

Ermitteln der Funktionsgleichung der, an der x-Achse gespiegelten Parabel ${\mathrm{p}}_1$.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5$

Spiegeln der Parabel ${\mathrm{p}}_1$ an der $\text{x}$-Achse.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-1\cdot [-(\mathrm{x}-2{)}^2+5)]$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5$

Die Scheitelform der Parabel ${\mathrm{p}}_2$ ist dann:

$\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5$

Berechnen der $x$-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1$ und ${\mathrm{N}}_2$.

Anwenden der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

Einsetzen der Werte aus ${\mathrm{p}}_3$.

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{8-6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=1$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{8+6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=7$

Die x-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1$ und ${\mathrm{N}}_2$ sind:

${\mathrm{x}}_1=1{\mathrm{x}}_2=7$

Überprüfen, ob die Punkte $\mathrm{A}(4|-8)$ und $\mathrm{B}(10|27)$ auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3$ liegen.

Einsetzen der $\text{x}$-Koordinaten des Punkts $\text{A}$ in ${\mathrm{p}}_3$.

$\mathrm{y}=4^2-8\cdot 4+7$

$\mathrm{y}=-9\Rightarrow$ Der Punkt $\text{A}$ liegt nicht auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3$.

Einsetzen der $\text{x}$-Koordinaten des Punkts $\text{B}$ in ${\mathrm{p}}_3$.

$\mathrm{y}={10}^2-8\cdot 10+7$

$\mathrm{y}=27\Rightarrow$Der Punkt $\text{B}$ liegt auf der Parabel${\mathrm{p}}_3$ .

Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von $\text{g}$ und ${\mathrm{p}}_4$ .

Gleichsetzen von $\text{g}$ und ${\mathrm{p}}_4$.

Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot 3}}{2\cdot (-1)}}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{1}6}{-2}}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{-2+4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-1$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{-2-4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_3=3$

Berechnen die $\text{y}$-Koordinaten indem Du ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}$ z. B. in die Geradengleichung $\text{g}$ einsetzt.

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=\mathrm{x}-9$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_1$

${\mathrm{y}}_1=-1-9$

${\mathrm{y}}_1=-10$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_2$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_2$

${\mathrm{y}}_2=3-9$

${\mathrm{y}}_2=-6$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind:

$\mathrm{C}(-1|-10)$ und $\mathrm{D}(3|-6)$

Einzeichnen der Parabeln ${\mathrm{p}}_3$ und ${\mathrm{p}}_4$ in ein Koordinatensystem.

Berechnen des jährlichen Zuwachses in Prozent.

Die Formel zur Berechnung des exponentiellen Wachstum lautet:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}};\mathrm{a}=(1+\mathrm{p})$

Die folgenden Größen sind bekannt:

${\mathrm{N}}_0=88$ Millionen; $\mathrm{N}(\mathrm{t})=101$ Millionen;$\mathrm{t}=9$ Jahre

Wir berechnen $\text{a}$, indem wir die Werte in die Formel einsetzen:

$101=88\cdot {\mathrm{a}}^9\Rightarrow \mathrm{a}=\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{101}{88}}}$

$\mathrm{a}\approx \mathrm{1,0154}$

Jetzt können wir den Zuwachs $\text{p}$ in Prozent berechnen:

$\mathrm{a}=(1+\mathrm{p})\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{a}-1$

$\mathrm{p}=\mathrm{1,0154}-1\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{0,0154}$

Der jährliche Zuwachs beträgt dann: $\mathrm{1,54}\%$

Berechnen der Zahl der Übernachtungen nach zwei Jahren.

Die Formel zur Berechnung des exponentiellen Zerfalls lautet:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}};\mathrm{a}=(1-\mathrm{p})$

Die folgenden Größen sind bekannt:

${\mathrm{N}}_0=101$ Millionen;$\mathrm{p}=\mathrm{22,3}\%;$ $\mathrm{t}=2$ Jahre

berechnen von $\text{a}$

$\mathrm{a}=1-\mathrm{0,223}\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{0,777}$

berechnen von $\mathrm{N}(2)$

$\mathrm{N}(2)=101\cdot {\mathrm{0,777}}^2\Rightarrow \mathrm{N}(2)=\mathrm{60,98}$

Die Zahl der Übernachtungen nach diesen zwei Jahren im Jahr 2021

beträgt ungefähr: $61$ Millionen

Berechnen Anzahl Jahre.

Zur Berechnung der Anzahl der Jahre verwenden wir die Formel aus Teilaufgabe a.)

$\mathrm{N}(\mathrm{t})={\mathrm{N}}_0\cdot {\mathrm{a}}^{\mathrm{t}}$

Die folgenden Größen sind bekannt:

$\mathrm{N}(\mathrm{t})=101$ Millionen; ${\mathrm{N}}_0=62$ Millionen; $\mathrm{a}=1+\mathrm{0,0165}=\mathrm{1,0165}$

berechnen von $\text{t}$

$101=62\cdot {\mathrm{1,0165}}^{\mathrm{t}}\Rightarrow \mathrm{t}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{g}101-\mathrm{l}\mathrm{g}62}{\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{1,0165}}}$

$\mathrm{t}\approx 30$

Bei einem jährlichen Zuwachs von $\mathrm{1,65}\%$ dauert es ungefähr

$30$ Jahre bis die Übernachtungszahl von $101$ Millionen wieder erreicht wird.

Baumdiagramm zeichnen:

Wahrscheinlichkeit für drei gleiche Zahlen (anwenden der Produkt- und Summenregel)

${\displaystyle \frac{4}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{18}}+{\displaystyle \frac{6}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{18}}+{\displaystyle \frac{10}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{9}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{8}{18}}=$

durch Kürzen und Zusammenfassen der Brüche erhält man dann:

${\displaystyle \frac{1}{285}}+{\displaystyle \frac{1}{57}}+{\displaystyle \frac{2}{19}}={\displaystyle \frac{1+5+30}{285}}={\displaystyle \frac{36}{285}}$

Die Wahrscheinlichkeit dreimal die gleiche Zahlen zu ziehen beträgt dann,

als Bruch: $\text{P}={\displaystyle \frac{12}{95}}$als Dezimalzahl: $\mathrm{P}=\mathrm{0,1263}$in Prozent: $\mathrm{P}=\mathrm{12,63}\%$

Tabelle der möglichen Zahlen

Berechnen der Anzahl der Kombinationen:

$3\cdot 3\cdot 3=27$

Es können $27$ unterschiedliche dreistellige Zahlen auftreten.

$2$. Binomische Formel:

${\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2=(\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2$

Anwenden der $2$. Binomischen Formel auf:

$\square -\square +169y^6=(9x-\square {)}^2$

${\mathrm{a}}^2=81{\mathrm{x}}^2$und $\mathrm{b}=13{\mathrm{y}}^3\left(\sqrt{169{\mathrm{y}}^6}\right)2\mathrm{a}\mathrm{b}=2\cdot 9\mathrm{x}\cdot 13{\mathrm{y}}^3=234\mathrm{x}{\mathrm{y}}^3$

Einsetzen der Werte in die Lücken.

$81{\mathrm{x}}^2-234\mathrm{x}{\mathrm{y}}^3+169{\mathrm{y}}^6={(9\mathrm{x}-13{\mathrm{y}}^3)}^2$

$-(\mathrm{a}-\mathrm{b}{)}^2=-({\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}\mathrm{b}+{\mathrm{b}}^2)$

$-(\mathrm{a}-\mathrm{b})=-{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}\mathrm{b}-{\mathrm{b}}^2$

$-(\square -15y{)}^2=-49x^2\square 210xy\square 225y^2$

Ergänzen der Lücken liefert:

$-{(7\mathrm{x}-15\text{y})}^2=-49{\mathrm{x}}^2+210\text{xy}-225{\mathrm{y}}^2$