Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$ in der Normalform.

Der Scheitel der Parabel ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_\{\backslash tiny\; 1\}\}\backslash$ist laut Abbildung: ${\mathrm{S}}_1(2\mathrm{\mid }5)\backslash \; \backslash mathrm\{S\_\{\backslash tiny\; 1\}(2|5)\}\backslash$

Die Scheitelform lautet:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{d}{)}^2+\mathrm{e}\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash left(x\backslash right)=a(x-d)^2+e\}$

Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5\backslash mathrm\{p\_1:\backslash \; y=-(x-2)^2+5\}$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor $\mathrm{a}=-1\backslash mathrm\{a=-1\}$

ausmultiplizieren der Scheitelform:

$\mathrm{y}=-({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4)+5\backslash mathrm\{y=-(x^2-4x+4)+5\}$

auflösen der Klammer und zusammenfassen:

$\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1\backslash mathrm\{y=-x^2+4x+1\}$

die Normalform ist dann:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{p\_1\backslash \; :\backslash \; y=-x^2+4x+1\}\}$

Ermitteln der Funktionsgleichung der, an der x-Achse gespiegelten Parabel ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$.

${\mathrm{p}}_1:\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-2{)}^2+5\backslash mathrm\{p\_1:\backslash \; y=-(x-2)^2+5\}$

Spiegeln der Parabel ${\mathrm{p}}_1\backslash mathrm\{p\_1\}$ an der $\text{x}\backslash text\{x\}$-Achse.

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=-1\cdot [-(\mathrm{x}-2{)}^2+5)]\backslash mathrm\{p\_2\backslash \; :\backslash \; y=-1\backslash cdot\backslash left[-(x-2)^2+5)\backslash right]\}$

${\mathrm{p}}_2:\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5\backslash mathrm\{p\_2\backslash \; :\backslash \; y=(x-2)^2-5\}$

Die Scheitelform der Parabel ${\mathrm{p}}_2\backslash mathrm\{p\_2\}$ ist dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=(\mathrm{x}-2{)}^2-5}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=(x-2)^2-5\}\}$

Berechnen der $xx$-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1\backslash mathrm\{N\_1\}$ und ${\mathrm{N}}_2\backslash mathrm\{N\_2\}$.

Anwenden der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}\}$

Einsetzen der Werte aus ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$.

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{8\backslash pm\backslash sqrt\{(-8)^2-4\backslash cdot\; 1\backslash cdot\; 7\}\}\{2\backslash cdot\; 1\}\}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{8\backslash pm\backslash sqrt\{36\}\}\{2\backslash cdot\; 1\}\}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{8-6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=1\backslash mathrm\{x\_\{1\}=\backslash dfrac\{8-6\}\{2\backslash cdot\; 1\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x\_1=1\}$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{8+6}{2\cdot 1}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=7\backslash mathrm\{x\_\{2\}=\backslash dfrac\{8+6\}\{2\backslash cdot\; 1\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x\_2=7\}$

Die x-Koordinaten der Punkte ${\mathrm{N}}_1\backslash mathrm\{N\_1\}$ und ${\mathrm{N}}_2\backslash mathrm\{N\_2\}$ sind:

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{x}}_1=1}}\boxed{{\displaystyle {\mathrm{x}}_2=7}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{x\_1=1\}\}\backslash qquad\backslash boxed\{\backslash mathrm\{\; x\_2=7\}\}$

Überprüfen, ob die Punkte $\mathrm{A}(4\mathrm{\mid }-8)\backslash mathrm\{A(4|-8)\}$ und $\mathrm{B}(10\mathrm{\mid }27)\backslash mathrm\{B(10|27)\}$ auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$ liegen.

Einsetzen der $\text{x}\backslash text\{x\}$-Koordinaten des Punkts $\text{A}\backslash text\{A\}$ in ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$.

$\mathrm{y}=4^2-8\cdot 4+7\backslash mathrm\{y=4^2-8\backslash cdot\; 4+7\}$

$\mathrm{y}=-9\Rightarrow \backslash mathrm\{y=-9\backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\}$ Der Punkt $\text{A}\backslash text\{A\}$ liegt nicht auf der Parabel ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$.

Einsetzen der $\text{x}\backslash text\{x\}$-Koordinaten des Punkts $\text{B}\backslash text\{B\}$ in ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$.

$\mathrm{y}={10}^2-8\cdot 10+7\backslash mathrm\{y=10^2-8\backslash cdot\; 10+7\}$

$\mathrm{y}=27\Rightarrow \backslash mathrm\{y=27\backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\}$Der Punkt $\text{B}\backslash text\{B\}$ liegt auf der Parabel${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$ .

Berechnen der Koordinaten der Schnittpunkte von $\text{g}\backslash text\{g\}$ und ${\mathrm{p}}_4\backslash mathrm\{p\_4\}$ .

Gleichsetzen von $\text{g}\backslash text\{g\}$ und ${\mathrm{p}}_4\backslash mathrm\{p\_4\}$.

Lösen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.

Die Mitternachtsformel lautet:

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}\}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot 3}}{2\cdot (-1)}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-2\backslash pm\backslash sqrt\{2^2-4\backslash cdot\; (-1)\backslash cdot\; 3\}\}\{2\backslash cdot\; (-1)\}\}$

${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{1}6}{-2}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-2\backslash pm\backslash sqrt16\}\{-2\}\}$

${\mathrm{x}}_1={\displaystyle \frac{-2+4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=-1\backslash mathrm\{x\_1=\backslash dfrac\{-2+4\}\{-2\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x\_1=-1\}$

${\mathrm{x}}_2={\displaystyle \frac{-2-4}{-2}}\Rightarrow {\mathrm{x}}_3=3\backslash mathrm\{x\_2=\backslash dfrac\{-2-4\}\{-2\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x\_3=3\}$

Berechnen die $\text{y}\backslash text\{y\}$-Koordinaten indem Du ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1,2}}\backslash mathrm\{x\_\{1\{,\}2\}\}$ z. B. in die Geradengleichung $\text{g}\backslash text\{g\}$ einsetzt.

$\mathrm{g}:\mathrm{y}=\mathrm{x}-9\backslash mathrm\{g:y=x-9\}$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_1\backslash mathrm\{x\_1\}$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_1\backslash mathrm\{y\_1\}$

${\mathrm{y}}_1=-1-9\backslash mathrm\{y\_1=-1-9\}$

${\mathrm{y}}_1=-10\backslash mathrm\{y\_1=-10\}$

Einsetzen von ${\mathrm{x}}_2\backslash mathrm\{x\_2\}$ und berechnen von ${\mathrm{y}}_2\backslash mathrm\{y\_2\}$

${\mathrm{y}}_2=3-9\backslash mathrm\{y\_2=3-9\}$

${\mathrm{y}}_2=-6\backslash mathrm\{y\_2=-6\}$

Die Koordinaten der Schnittpunkte sind:

$\mathrm{C}(-1\mathrm{\mid }-10)\backslash mathrm\{C(-1|-10)\}$ und $\mathrm{D}(3\mathrm{\mid }-6)\backslash mathrm\{D(3|-6)\}$

Einzeichnen der Parabeln ${\mathrm{p}}_3\backslash mathrm\{p\_3\}$ und ${\mathrm{p}}_4\backslash mathrm\{p\_4\}$ in ein Koordinatensystem.