Wahlteil

Berechnen des Volumens des Blumentopfes.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts eines Zylinders lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\{V\_\{Zylinder\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}={\left({\displaystyle \frac{18}{2}}\right)}^2\cdot \pi \cdot 20[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]\backslash mathrm\{V\_\{Zylinder\}=\backslash left(\backslash dfrac\{18\}\{2\}\backslash right)^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 20\backslash \; \backslash \; [cm^3]\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\mathrm{5089,38}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Zylinder\}=5089\{,\}38\backslash cm^3\}$

Das Volumen des Blumentopfs beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{5089,38}{\text{ cm}}^3}}\backslash boxed\{5089\{,\}38\backslash cm^3\}$.

Berechnen der Füllhöhe der Erde im Blumentopf.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{F}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}\backslash mathrm\{V\_\{Erde\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; h\_\{Füll\}\}$

Auflösen der Formel nach:

${\mathrm{h}}_{\mathrm{F}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi }}\backslash \; \backslash mathrm\{h\_\{Füll\}=\backslash dfrac\{V\_\{Erde\}\}\{r^2\backslash cdot\backslash pi\}\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

${\mathrm{h}}_{\mathrm{F}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4000}{{\left({\displaystyle \frac{18}{2}}\right)}^2\cdot \pi }}[\mathrm{c}\mathrm{m}]\backslash mathrm\{h\_\{Füll\}=\backslash dfrac\{4000\}\{\backslash left(\backslash dfrac\{18\}\{2\}\backslash right)^2\backslash cdot\backslash pi\}\backslash \; \backslash \; [cm]\}$

${\mathrm{h}}_{\mathrm{F}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{l}\mathrm{l}}=\mathrm{15,72}\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_\{Füll\}=15\{,\}72\backslash cm\}$

Die Füllhöhe der Erde im Blumentopf beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{15,72}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{15\{,\}72\backslash cm\}$.

Anmerkung:

Bei Teilaufgabe 1a.) und 1b.) wurde für $\pi \backslash large\{\backslash pi\}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert, wenn du für $\pi \backslash large\{\backslash pi\}$ mit $\mathrm{3,14}3\{,\}14$ rechnest, erhältst du ein geringfügig abweichendes Ergebnis.

Berechnen der Höhe eines der gleichseitigen Dreiecke.

Die Formel zur Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \sqrt{3}}{2}}\backslash mathrm\{h=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\}$

Einsetzen von $\mathrm{a}=4\backslash mathrm\{a=4\}$ in die Formel:

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{4\cdot \sqrt{3}}{2}}[\mathrm{c}\mathrm{m}]\backslash mathrm\{h=\backslash dfrac\{4\backslash cdot\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash \; \backslash \; [cm]\}$

$\mathrm{h}=\mathrm{3,46}\text{ cm}\backslash mathrm\{h=3\{,\}46\backslash cm\}$

Die Höhe eines der Dreiecke beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{3,46}\text{ cm}}}\backslash \; \backslash boxed\{3\{,\}46\backslash cm\}$.

Berechnen des Flächeninhalts der Figur.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{a}}^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{a^2\backslash cdot\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\}$

Einsetzen von $\mathrm{a}=4\backslash mathrm\{a=4\}$ in die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{4^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{4^2\backslash cdot\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{6,93}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=6\{,\}93\backslash cm^2\}$

Verdoppelung des Flächeninhalts:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}}=2\cdot \mathrm{6,93}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]\backslash mathrm\{A\_\{Figur\}=2\backslash cdot6\{,\}93\backslash \; \backslash \; [cm^2]\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{r}}=\mathrm{13,86}{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Figur\}=13\{,\}86\backslash cm^2\}$

Der Flächeninhalt der Figur beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{13,86}{\text{ cm}}^2}}\backslash \; \backslash boxed\{13\{,\}86\backslash cm^2\}$.

Vervollständigen der Tabelle und einzeichnen eines Graphen, passend zur Wertetabelle, in das Koordinatensystem.

Bestimmen der Funktionsgleichung, die zur Wasserhöhe passt.

Die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{t}\backslash mathrm\{y=m\backslash cdot\; x+t\}$

Den y-Achsenabschnitt lesen wir aus der Zeichnung ab, und setzen ihn in die Funktionsgleichung ein.

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+90\backslash mathrm\{y=m\backslash cdot\; x+90\}$

Bestimmen der Steigung $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$.

Wir wählen die Koordinaten des Schnittpunkts $\mathrm{P}\backslash \; \backslash mathrm\{P\}$ des Graphen mit der x-Achse.

Die Koordinaten lauten:

$\mathrm{P}(45\mathrm{\mid }0)\backslash mathrm\{P(45|0)\}$

Einsetzen der Koordinaten in die Funktionsgleichung und berechnen der Steigung $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$.

$0=45\mathrm{m}+90\backslash mathrm\{0=45m+90\}$

Die Funktionsgleichung lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=-2\mathrm{x}+90}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=-2x+90\}\}$

Kreuze entsprechend an.

Es dauert $3535$ Minuten bis die Wasserhöhe von $20\text{ cm}20\backslash cm$ erreicht ist.

Herr Jalowiecki lässt das Wasser um $\text{15:30}\backslash text\{15:30\}$ Uhr ab.

Um $\text{16:05}\backslash text\{16:05\}$ steht dann das Wasser in der Tonne $20\text{ cm}20\; \backslash cm$ hoch.

Skizzieren der Tonne zum Graphen $AA$.

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{S}(15\mathrm{\mid }30)}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{S(15|30)\}\}$

Bedeutung des Schnittpunkts:

Nach $1515$ Minuten Ablaufzeit haben beide Tonnen eine

Wasserhöhe von $30\text{ cm}30\backslash cm$.

Angabe der Zeit, die es dauert, bis die Tonne $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ leer ist.

Die gesamte Ablaufzeit beträgt: $60\min \mathrm{.}\backslash \; 60\backslash min.$

$60-5=55\min 60-5=55\backslash min$

Bei normaler Ablaufgeschwindigkeit würde es noch $55\min 55\backslash min$ dauern bis der Behälter leer ist, da aber das Wasser jetzt nur noch halb so schnell abläuft, dauert es die doppelte Zeit.

Also: $55\cdot 2=110\min \mathrm{.}\backslash \; 55\backslash cdot2=110\backslash min.$

Es dauert jetzt noch $\boxed{{\displaystyle 110\min }}\backslash boxed\{110\backslash min\}$ bis der Behälter leer ist.

Ergänzen des Baumdiagramms.

Markieren des Pfades und berechnen der Wahrscheinlichkeit.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des markierten Pfads.

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{4\cdot 3}{6\cdot 5}}={\displaystyle \frac{12}{30}}\backslash mathrm\{P\_\{2xschwarz\}=\backslash dfrac\{4\backslash cdot3\}\{6\backslash cdot5\}=\backslash dfrac\{12\}\{30\}\}$

Kürzen des Bruchs:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{x}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash mathrm\{P\_\{2xschwarz\}=\backslash dfrac\{2\}\{5\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit hintereinander 2 schwarze Socken zu ziehen beträgt:

${\displaystyle \frac{2}{5}}\backslash dfrac\{2\}\{5\}$ oder $\mathrm{0,4}0\{,\}4$ oder $40\mathrm{\%}40\backslash \; \backslash \%$

Berechnen der Wahrscheinlichkeit.

$\mathrm{P}(\mathrm{"}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{u},\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{"})+\mathrm{P}(\mathrm{"}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z},\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{"})={\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{16}{30}}\backslash mathrm\{P\backslash left("blau,\backslash \; dann\backslash \; schwarz"\backslash right)+P\backslash left("schwarz,\backslash \; dann\backslash \; blau"\backslash right)=\backslash dfrac\{2\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{5\}+\backslash dfrac\{4\}\{6\}\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{5\}=\backslash dfrac\{16\}\{30\}\}$

Kürzen des Bruchs:

$\mathrm{P}(\mathrm{"}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{u},\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z}\mathrm{"})+\mathrm{P}(\mathrm{"}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{z},\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{"})={\displaystyle \frac{8}{15}}\backslash mathrm\{P\backslash left("blau,\backslash \; dann\backslash \; schwarz"\backslash right)+P\backslash left("schwarz,\backslash \; dann\backslash \; blau"\backslash right)=\backslash dfrac\{8\}\{15\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit hintereinander 2 verschiedenfarbige Socken zu ziehen beträgt:

${\displaystyle \frac{8}{15}}\backslash dfrac\{8\}\{15\}\backslash$ oder $\mathrm{0,53}\backslash \; 0\{,\}53\backslash$oder $53\mathrm{\%}\backslash \; 53\backslash \; \backslash \%$

Prüfen, ob Tobias recht hat.

Vor dem Kauf betrug der Anteil der blauen Socken an der Gesamtzahl

der Socken ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\{2\}\{6\}$.

Nach dem Kauf beträgt der Anteil ${\displaystyle \frac{6}{14}}\backslash dfrac\{6\}\{14\}$.

Da ${\displaystyle \frac{6}{14}}\backslash dfrac\{6\}\{14\}$ größer ist als ${\displaystyle \frac{2}{6}}\backslash dfrac\{2\}\{6\}$, ist auch die Wahrscheinlichkeit höher, nach dem Kauf ,

2 blaue Socken nacheinander zu ziehen.

Berechnen der fehlenden Werte in der Tabelle und vervollständigen des Säulendiagramms.

Berechnen der Durchschnittsnote für den Fernunterricht an der Ursulaschule.

${\mathrm{\varnothing }}_{\text{Ursulasch.}}={\displaystyle \frac{1150}{400}}\backslash varnothing\_\{\backslash text\{Ursulasch.\}\}=\{\backslash dfrac\{1150\}\{400\}\}$

${\mathrm{\varnothing }}_{\text{Ursulasch.}}=\mathrm{2,875}\backslash varnothing\_\{\backslash text\{Ursulasch.\}\}=\backslash \; 2\{,\}875$

Die Lehrkräfte an der Ursulaschule sind mit einem Notendurchschnitt von $\mathrm{2,88}2\{,\}88$ besser bewertet worden, als die Lehrkräfte an der Goetheschule mit einem Notendurchschnitt von $\mathrm{2,95}2\{,\}95$.

Kreuze entsprechend an.

Überprüfen der Aussagen.

zu Aussage 1:

$56\mathrm{\%}56\backslash \; \backslash \%$ sind mehr als $200200$, die Aussage ist $\mathbf{\text{wahr.}}\backslash textcolor\{blue\}\{\backslash textbf\{wahr.\}\}$

$\backslash rule\{70mm\}\{0.5mm\}$

zu Aussage 2:

"Jeder dritte Befragte", das sind ca. $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$.

$28\mathrm{\%}28\backslash \; \backslash \%$ sind weniger als $33\mathrm{\%}33\backslash \; \backslash \%$, die Aussage ist $\mathbf{\text{falsch.}}\backslash textcolor\{red\}\{\backslash textbf\{falsch.\}\}$

Kreuze entsprechend an.

Prüfen von Elias Behauptung.

Nein, Elias hat nicht Recht.

Es sind Mehrfachnennungen möglich.

Kreuze entsprechend an.