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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\ \m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20\ \m$ unterhalb der Fahrbahn.
Abbildung 1
Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\ \m$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die $x$ -Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die $y$ -Achse entlang der Symmetrieachse.
Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $r(x)=\frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)$ beschrieben.
1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\ \m$ lang ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\ \m$ lang ist
  Gegeben: Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $r(x)=\frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)$ beschrieben.
  Berechne die Nullstelle von $r$ :
  $0=\frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)$
  Nur die Klammer kann null werden:
  Für $x = 32$ ist $\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-32)}=e^0=1$ und damit ist der Klammerterm gleich null.
  Die $y$ -Achse verläuft entlang der Symmetrieachse der Brücke.
  Daher ist die Brückenlänge gleich $2\cdot 32 \cdot 10=640$ (eine Längeneinheit entspricht $10\ \m$ in der Realität).
  Die Fahrbahn der Brücke ist insgesamt $640\ \m$ lang.
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  Berechne die Nullstelle von $r$ .
  Beachte die Symmetrie und die angegebene Längeneinheit.
2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.
  Geben Sie einen passenden Term $l (x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Gib einen passenden Term $l (x)$ an
  Wegen der Symmetrie muss $r$ an der y-Achse gespiegelt werden:
  $l(x)=r(-x)=\frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32+x)}-1\right)$
  Gib das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt
  Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\ \m$ .
  Die Gesamtlänge der Brücke ist $640\ \m$ . Der linke und der rechte Abschnitt der Brücke sind zusammen $(640-400)\ \m=240\ \m$ lang.
  Ein Abschnitt der Brücke hat demnach eine Länge von $120\ \m$ bzw. $12\ \text{LE}$ .
  Der linke Abschnitt der Brücke reicht also von $- 32$ bis $- 32 + 12 = - 20$ .
  Das Intervall, in dem der Term $l (x)$ das Abspannseil darstellt, ist $-32 \leq x \leq-20$ .
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  Teil 1
  Wegen der Symmetrie muss $r$ an der y-Achse gespiegelt werden.
  Teil 2
  Die Gesamtlänge der Brücke ist $640\ \m$ .
  Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\ \m$ .
  Berechne die Länge des linken Abschnitts der Brücke in $\text{LE}$ .
  Beachte, die Brücke beginnt bei $x = - 32$ .
3. Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche
  Berechne $r (20)$ :
  $r(20)\approx 5{,}00$ (das sind wieder $\text{LE}$ )
  Die Wasseroberfläche liegt $20\ \m$ unterhalb der Fahrbahn.
  Deshalb beträgt die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche ungefähr $5 \cdot 10 \mathrm{~m}+20 \mathrm{~m}=70 \mathrm{~m}$ .
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  Berechne $r (20)$ .
  Beachte die Längeneinheit und dass die Wasseroberfläche $20\ \m$ unterhalb der Fahrbahn liegt.
4. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt
  Berechne $r^{'} (20)$ :
  Mit der Kettenregel ergibt sich: $r^{\prime}(x)=\frac{253}{100} \cdot\left(-\frac{1}{11} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}\right)=-\frac{23}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11} \cdot(32-x)}$ .
  Die Steigung an der Stelle $20$ beträgt: $r^{\prime}(20)=-\frac{23}{100} \cdot e^{\frac{12}{11}}\approx-0{,}68$ .
  Aufgrund der Symmetrie gilt: $l^{\prime}(-20)=-r^{\prime}(20) \approx 0{,}68$ , der berechnete Wert liegt also ebenfalls zwischen $- 0,7$ und 0,7.
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  Berechne $r^{'} (20)$ .
5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück.
  Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele dessen Inhalt in der Realität
  Die Fläche wird im Modell durch $x = 20$ (Position des Pfeilers) und die Nullstelle bei $x = 32$ (Ende des Abspannseils) begrenzt.
  Berechne $A=\displaystyle\int_{20}^{32} r(x)\; \mathrm{d} x$ :
  Es ist $A=\displaystyle\int_{20}^{32} r(x)\; \mathrm{d} x=\frac{253}{100} \cdot\left(11 \cdot \mathrm{e}^{\frac{12}{11}}-23\right) \approx 24{,}66\;\text{FE}$ .
  Eine Längeneinheit sind $10\ \m$ und eine Flächeneinheit sind $100\;\text{m}^2$ .
  Der Flächeninhalt beträgt demnach etwa $24{,}66\cdot 100=2466 \mathrm{~m}^{2}$ .
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  Berechne $A=\displaystyle\int_{20}^{32} r(x)\; \mathrm{d} x$ .
  Beachte: Eine Längeneinheit sind $10\ \m$ und eine Flächeneinheit sind $100\;\text{m}^2$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\ \m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20\ \m$ unterhalb der Fahrbahn.
Abbildung 1
Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\mathrm{~m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.
Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\mathrm{~m}$ .
Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$ beschrieben.
1. Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist
  Gegeben ist $s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256}$ .
  Die Funktion $s$ ist eine ganzrationale Funktion, der Funktionsterm enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. $s$ ist symmetrisch zur y-Achse
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  Betrachte die Potenzen von $x$ .
2. Zwei der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt haben eine Länge von jeweils $\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}[\approx 10{,}00 \mathrm{~m}]$ .
  Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72\mathrm{~m}$ links bzw. rechts der Brückenmitte.
  Geben Sie außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72$ m links bzw. rechts der Brückenmitte.
  Es gilt: $s(-7{,}2)=s(7{,}2)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(7{,}2^{4}+2560\cdot 7{,}2^{2}\right)+\frac{125}{256}$ .
  Also ist $s(7{,}2)=\dfrac{643061}{640000}\approx 1$ $\;[\approx 10{,}00 \mathrm{~m}]$
  Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\mathrm{~m}$ .
  Durch die Halteseile wird der mittlere Brückenabschnitt in $25$ Teile unterteilt, d.h. ein Teil entspricht einem Abstand von $\dfrac{400 \mathrm{~m}}{25}=16 \mathrm{~m}.$
  Das Halteseil an der Stelle $x = 7,2$ befindet sich $72 \mathrm{~m}$ von der Mitte der Brücke entfernt.
  Es gilt: $72=8+4\cdot16$
  Das erste Halteseil ist $8 \mathrm{~m}$ von der Mitte entfernt, dann folgen $4$ Halteseile im Abstand von $16 \mathrm{~m}$ , d.h. es ist das insgesamt $5$ . Halteseil.
  Entsprechend gilt das auch für $x = - 7,2$ .
  Es handelt sich also um die fünften Halteseile rechts bzw. links der Brückenmitte.
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  Berechne $s (- 7,2) = s (7,2)$ .
  Durch die Halteseile wird der mittlere Brückenabschnitt in $25$ Teile unterteilt, d.h. ein Teil entspricht einem Abstand von $\dfrac{400 \mathrm{~m}}{25}=16 \mathrm{~m}$ .
  Überlege, das wievielte Halteseil befindet sich bei $72 \mathrm{~m}$ .
3. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\mathrm{~m}$ und einen Höhenunterschied von $5\mathrm{~m}$ .
  Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist
  Gegeben: Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40\ \m=4 \mathrm{~LE}$ und einen Höhenunterschied von $5\ \m= 0{,}5\mathrm{~LE}$ .
  Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0{,}5\mathrm{~LE}$ betragen.
  Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $s (x) - s (x - 4) = 0,5$ .
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  Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40\mathrm{~m}=4 \mathrm{~LE}$ und einen Höhenunterschied von $5\mathrm{~m}= 0{,}5\mathrm{~LE}$ .
  Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0{,}5\mathrm{~LE}$ betragen.
  Stelle die entsprechende Gleichung auf.
4. Geben Sie die Bedeutung des Terms $(s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 23)+s(-20+1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$
  im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an und begründe Deine Angabe
  Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden.
  Betrachtet man im Modell den mittleren Abschnitt ausgehend vom linken Pfeiler, so gibt der Term $s(-20+1{,}6 \cdot 1)$ die Länge des ersten Halteseils rechts des Pfeilers an, der Term $s(-20+1{,}6 \cdot 2)$ gibt die Länge des zweiten Halteseils an usw. Der Term $s(-20+1{,}6 \cdot 23)$ gibt im Modell die Länge des $23$ . Halteseils und der Term letzte Halteseil vor dem rechten Pfeiler.
  Durch Multiplikation mit dem Faktor $10$ erhält man die Länge in der Realität.
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  Betrachtet man im Modell den mittleren Abschnitt ausgehend vom linken Pfeiler, so gibt der Term $s(-20+1{,}6 \cdot 1)$ gibt die Länge des ersten Halteseils rechts des Pfeilers an.
  Entsprechendes gilt auch für die anderen Terme, sodass insgesamt die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden kann.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Aufgabe 1

Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m640\ \m640 m lang ist

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Gib einen passenden Term l(x)l(x)l(x) an

Gib das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt

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Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche

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Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen −0,7-0{,}7−0,7 und 0,70{,}70,7 liegt

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Ermittele dessen Inhalt in der Realität

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Aufgabe 2

Begründe, dass der Term von sss damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

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Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen x=−7,2x=-7{,}2x=−7,2 und x=7,2x=7{,}2x=7,2 befinden, d. h. 727272 m links bzw. rechts der Brückenmitte.

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Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist

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Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an und begründe Deine Angabe

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Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\ \m$ lang ist

Gib einen passenden Term $l (x)$ an

Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt

Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72$ m links bzw. rechts der Brückenmitte.