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  1. 1

    Aufgabe 1

    Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400  m400\ \m . Die Wasseroberfläche liegt 20  m20\ \m unterhalb der Fahrbahn.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

    Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10  m10\ \m in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die xx-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die yy-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm r(x)=253100(e111(32x)1)r(x)=\frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right) beschrieben.

    1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640  m640\ \m lang ist. (3 P)

    2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.

      Geben Sie einen passenden Term l(x)l(x) sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 P)

    3. Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche. (2 P)

    4. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen 0,7-0{,}7 und 0,70{,}7 liegt. (4 P)

    5. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück.

      Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität. (3 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400  m400\ \m. Die Wasseroberfläche liegt 20  m20\ \m unterhalb der Fahrbahn.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

    Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10 m10\mathrm{~m} in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

    Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von 16 m16\mathrm{~m}.

    Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm s(x)=(18)6(x4+2560x2)+125256s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{6} \cdot\left(x^{4}+2560 x^{2}\right)+\frac{125}{256} beschrieben.

    1. Begründen Sie, dass der Term von ss damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. (2 P)

    2. Zwei der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt haben eine Länge von jeweils 64306164000 m[10,00 m]\dfrac{643061}{64000} \mathrm{~m}[\approx 10{,}00 \mathrm{~m}].

      Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen x=7,2x=-7{,}2 und x=7,2x=7{,}2 befinden, d. h. 72 m72\mathrm{~m} links bzw. rechts der Brückenmitte.

      Geben Sie außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden. (2 P)

    3. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von 40 m40\mathrm{~m} und einen Höhenunterschied von 5 m5\mathrm{~m}.

      Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)

    4. Geben Sie die Bedeutung des Terms (s(20+1,61)+s(20+1,62)++s(20+1,623)+s(20+1,624))10(s(-20+1{,}6 \cdot 1)+s(-20+1{,}6 \cdot 2)+\cdots+s(-20+1{,}6 \cdot 23)+s(-20+1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10

      im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. (4 P)


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