B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1 und 2.

Der Körper $K$ ist Teil eines mathematischen Modells eines Architekturbüros zur Planung eines neuen Hotels.

Das Hotel soll aus drei Gebäuden bestehen, die jeweils die gleiche Form besitzen. Durch den Körper $K$ wird Gebäude I modelliert, die Gebäude II und III sind gegenüber Gebäude I jeweils um $120^{\circ}$ gedreht (siehe Abbildung 4). Alle drei Gebäude stehen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof bilden. In der Modellierung liegt dieser Innenhof in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.

Die nebenstehende Abbildung 5 zeigt das Modell des Hotels von oben.

$\left(A_{3}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|5| 0\right), A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|-5| 0\right) \right)$

Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$ .
[Zur Kontrolle: $\left.P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}|0| 0\right) \approx P(-5{,}77|0| 0).\right]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$
Bekannt ist: Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 5).
Die Differenz der $x_{2}$ -Koordinaten von $A_{3}$ und $A_{4}$ ist gleich $10$ , d.h. die Seiten des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ besitzen eine Länge von $\left|\overline{A_{3} A_{4}}\right|=10\;\mathrm{LE}$ .
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$h_{D}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=\sqrt{75}=5 \cdot \sqrt{3}$
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ beträgt $5 \cdot \sqrt{3}\;\mathrm{LE}$ .
Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
Vom Koordinatenursprung aus gesehen hat $P$ die $x_{1}$ -Koordinate $p_1=-\dfrac{2}{3}\cdot h_D=-\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{75}$ .
Damit gilt: $P\left(-\frac{2 \cdot \sqrt{75}}{3}\Big \vert0\Big \vert 0\right) \approx P(-5{,}77|0| 0)$ .
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Der Innenhof $A_{4} A_{3} P$ hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks.
Aus Symmetriegründen muss der Punkt $P$ auf der $x_{1}$ -Achse liegen (siehe Abbildung 3).
Ermittele die Länge der Strecke $\overline{A_{3} A_{4}}$ .
Die Höhe $h_{D}$ des Dreiecks $A_{4} A_{3} P$ wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
Der Höhenschnittpunkt im gleichseitigen Dreieck teilt jede Höhe im Verhältnis $2 : 1$ .
Berechnen Sie den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichseitiges Dreieck
Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$
Gegeben ist $A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}\Big \vert-5\Big \vert 0\right)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung ist gleich $\dfrac{2}{3}\cdot h_D=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{75}$ .
$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_{4}}\right|=\dfrac{2 \cdot \sqrt{75}}{3} \approx 5{,}77$
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung beträgt rund $5{,}77\;\mathrm{LE}$ .
Anmerkung: Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung kann auch mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.
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Gegeben ist $A_{4}\left(\frac{\sqrt{75}}{3}|-5| 0\right)$ und das Dreieck ist gleichseitig.
Der Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung entspricht $\dfrac{2}{3}\cdot h_D$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes PPP

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Berechne den Abstand von A4A_{4}A4​ zum Koordinatenursprung O(0∣0∣0)O(0|0| 0)O(0∣0∣0)

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Ermittele rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$

Berechne den Abstand von $A_{4}$ zum Koordinatenursprung $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$