B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen
Gegeben: $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ :
$0=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Verwende Satz vom Nullprodukt:
$e^{-x}\neq 0$ für alle $x\;\Rightarrow\;x^2-x-1=0$
Der TR liefert $x\approx-0{,}62 \vee x\approx1{,}62$ .
Berechne nun das Integral $A=\left|\displaystyle\int_{-0{,}62}^{1{,}62} h(x)\; \mathrm{d} x\right| \approx 1{,}28$
Die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt rund $1{,}28\;\mathrm{FE}$ .
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Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
Dann berechnet man den Flächeninhalt mit $A=\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x)\; \mathrm{d} x\right|$ .
(i) Zeigen Sie: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ . (2 P)
(ii) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Zeige: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
Wende die Produkt- und Kettenregel an. $h^{\prime}(x)=(2 x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}-\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
(ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte
Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{\prime}(x)=0$ .
Die Nullstellen sind also $x=0 \vee x=3$ .
Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $h$ nur zwei Extrempunkte.
Da $h^{\prime}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.
Gesucht ist also der Abstand $d$ der Punkte $T(0 \mid h(0))=T(0 \mid-1)$ und $H(3 \mid h(3))=H\left(3 \mid 5 \mathrm{e}^{-3}\right)$ .
Es gilt: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$\Rightarrow\;d=\sqrt{(3-0)^2+(5 \mathrm{e}^{-3}-(-1))^2}\approx3{,}25$
Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $3{,}25\;\mathrm{LE}$ .
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(i)
Wende die Produkt- und Kettenregel an.
(ii)
Berechne für die Extrema $h^{\prime}(x)=0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Berechne die Koordinaten der beiden Extrema $T P (x_{1} ∣ h (x_{1})$ und $H P (x_{2} ∣ h (x_{2})$ .
Der Abstand der Extrempunkte berechnet sich dann mit: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
Die beiden Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ ein Rechteck $T P H Q$ , dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion $h$ in zwei Teilstücke zerlegt
(siehe Abbildung 1).
Ermitteln Sie, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)
Abbildung 1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt
Gegeben: $T(0 \mid-1)$ und $H\left(3 \mid 5 \mathrm{e}^{-3}\right)$ .
Der Flächeninhalt des Rechtecks $T P H Q$ berechnet sich durch:
$A_{\square}=\Delta x\cdot \Delta y=3 \cdot\left(5 \mathrm{e}^{-3}+1\right) \approx 3{,}75$ .
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $3{,}75 \;\mathrm{FE}$ .
Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der Geraden mit der Gleichung $y = - 1$ über dem Intervall $[0; 3]$ .
Ihr Inhalt beträgt $A_{\text{schraffiert}}=\displaystyle\int_{0}^{3}(h(x)-(-1))\;\mathrm{d} x\approx 2{,}40$ .
Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{\text{schraffiert}}$ beträgt rund $2{,}40\;\mathrm{FE}$ .
Damit ergibt sich ein Anteil von $\dfrac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\square}}=\dfrac{2{,}40}{3 \cdot\left(5 \mathrm{e}^{-3}+1\right)} \approx 0{,}641$ , also von ca. $64{,}1 \%$ .
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Betrachte die Koordinaten der beiden Extrema und berechne den Flächeninhalt $A_{\square}$ des Rechtecks.
Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche mit: $A_{\text{schraffiert}}=\displaystyle\int_{0}^{3}(h(x)-(-1))\;\mathrm{d} x$
Bilde das Verhältnis $\dfrac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\square}}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von hhh und die xxx-Achse einschließen

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(i) Zeige: h′(x)=(−x2+3x)⋅e−xh^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}h′(x)=(−x2+3x)⋅e−x

(ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte

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Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt

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Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen

(i) Zeige: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$