B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h : x \mapsto (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$ .

Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen
Gegeben: $h (x) = (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$
Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ :
$0 = (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$
Verwende Satz vom Nullprodukt:
$e^{- x} \neq 0$ für alle $x \Rightarrow x^{2} - x - 1 = 0$
Der TR liefert $x \approx - 0,62 \lor x \approx 1,62$ .
Berechne nun das Integral $A = | \int_{- 0,62}^{1,62} h (x) d x | \approx 1,28$
Die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt rund $1,28 FE$ .
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Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Dann berechnet man den Flächeninhalt mit $A = | \int_{x_{1}}^{x_{2}} h (x) d x |$ .
(i) Zeigen Sie: $h^{'} (x) = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$ . (2 P)
(ii) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
(i) Zeige: $h^{'} (x) = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$
Wende die Produkt- und Kettenregel an. $h^{'} (x) = (2 x - 1) \cdot e^{- x} - (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x} = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$ .
(ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte
Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{'} (x) = 0$ .
Die Nullstellen sind also $x = 0 \lor x = 3$ .
Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $h$ nur zwei Extrempunkte.
Da $h^{'}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.
Gesucht ist also der Abstand $d$ der Punkte $T (0 | h (0)) = T (0 | - 1)$ und $H (3 | h (3)) = H (3 | 5 e^{- 3})$ .
Es gilt: $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$\Rightarrow d = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (5 e^{- 3} - (- 1))^{2}} \approx 3,25$
Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $3,25 LE$ .
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(i)
Wende die Produkt- und Kettenregel an.
(ii)
Berechne für die Extrema $h^{'} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne die Koordinaten der beiden Extrema $T P (x_{1} | h (x_{1})$ und $H P (x_{2} | h (x_{2})$ .
Der Abstand der Extrempunkte berechnet sich dann mit: $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
Die beiden Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ ein Rechteck $T P H Q$ , dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion $h$ in zwei Teilstücke zerlegt
(siehe Abbildung 1).
Ermitteln Sie, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)
Abbildung 1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt
Gegeben: $T (0 | - 1)$ und $H (3 | 5 e^{- 3})$ .
Der Flächeninhalt des Rechtecks $T P H Q$ berechnet sich durch:
$A_{□} = Δ x \cdot Δ y = 3 \cdot (5 e^{- 3} + 1) \approx 3,75$ .
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $3,75 FE$ .
Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der Geraden mit der Gleichung $y = - 1$ über dem Intervall $[0; 3]$ .
Ihr Inhalt beträgt $A_{schraffiert} = \int_{0}^{3} (h (x) - (- 1)) d x \approx 2,40$ .
Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{schraffiert}$ beträgt rund $2,40 FE$ .
Damit ergibt sich ein Anteil von $\frac{A_{schraffiert}}{A_{□}} = \frac{2,40}{3 \cdot (5 e^{- 3} + 1)} \approx 0,641$ , also von ca. $64,1 %$ .
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Betrachte die Koordinaten der beiden Extrema und berechne den Flächeninhalt $A_{□}$ des Rechtecks.
Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche mit: $A_{schraffiert} = \int_{0}^{3} (h (x) - (- 1)) d x$
Bilde das Verhältnis $\frac{A_{schraffiert}}{A_{□}}$ .