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Aufgabe 2

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion h:x↩(x2−x−1)⋅e−x.

  1. Bestimmen Sie die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che, die der Graph von h und die x-Achse einschließen. (3 P)

  2. (i) Zeigen Sie: hâ€Č(x)=(−x2+3x)⋅e−x. (2 P)

    (ii) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)

  3. Die beiden Extrempunkte T und H des Graphen von h bilden zusammen mit den Punkten P und Q ein Rechteck TPHQ, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion h in zwei TeilstĂŒcke zerlegt

    (siehe Abbildung 1).

    Ermitteln Sie, welchen Anteil an der FlĂ€che des Rechtecks die FlĂ€che des schraffierten TeilstĂŒcks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)

    Abbildung 1

    Abbildung 1