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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $ℝ$ definierten Funktionen $p : x \mapsto - x^{2} - x + 1$ und $q : x \mapsto e^{- x}$ .
Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q^{'} (x) = - q (x)$ .
1. Beschreiben Sie, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
  Beschreibe, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann
  Gegeben: $q (x) = e^{- x}$
  Weiterhin: Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q^{'} (x) = - q (x)$ .
  Der Graph von $q^{'}$ kann aus dem Graphen von $q$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse erzeugt werden.
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  Was bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse?
2. Zeigen Sie, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.
  (2 P + 1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben
  Gegeben: $p (x) = - x^{2} - x + 1$ und $q (x) = e^{- x}$
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse.
  Für $x = 0$ ist $p (0) = 1$ und $q (0) = e^{0} = 1$ .
  Der gemeinsame Punkt liegt auf der $y$ -Achse und ist der Punkt $P (0 | 1)$ .
  Weiterhin gilt: $p^{'} (x) = - 2 x - 1$ und $q^{'} (x) = - e^{- x}$ :
  Dann ist $p^{'} (0) = - 1$ und $q^{'} (0) = - 1$ .
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben einen gemeinsamen Punkt $P (0 | 1)$ und sie haben in diesem Punkt die gleiche Steigung $- 1$ . Deshalb haben sie auch im Punkt $P$ eine gemeinsame Tangente.
  Gib eine Gleichung dieser Tangente an
  $t (x) = m \cdot x + b$ mit $m = - 1$ und $b = 1$ folgt dann:
  $t (x) = - x + 1$
  Die Gleichung dieser Tangente lautet $t (x) = - x + 1$ .
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  Teil 1
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Setze $x = 0$ in die Funktionsgleichungen ein.
  Berechne $p^{'} (0)$ und $q^{'} (0)$ .
  Teil 2
  Setze die bekannten Werte in $t (x) = m \cdot x + b$ ein.
3. Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x$ an und interpretieren Sie diesen Wert geometrisch. (1 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Gib den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch
  $\int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x = \int_{0}^{2} (e^{- x} - (- x^{2} - x + 1)) d x = \int_{0}^{2} (e^{- x} + x^{2} + x - 1)) d x$
  Der Term $\frac{11 \cdot e^{2} - 3}{3 \cdot e^{2}}$ kann noch vereinfacht werden.
  $\Rightarrow \int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x = \frac{11}{3} - e^{- 2} \approx 3,53$
  Die Fläche, die die Graphen von $p$ und $q$ sowie die Gerade mit der Gleichung $x = 2$ einschließen, hat einen Inhalt von ca. $3,53$ Flächeneinheiten.
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  Setze in $\int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x$ die beiden gegebenen Funktionen ein und berechne das Integral.
  Der Wert des Integrals ist die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche zwischen $x = 0$ und $x = 2$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h : x \mapsto (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$ .
1. Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen
  Gegeben: $h (x) = (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$
  Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ :
  $0 = (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x}$
  Verwende Satz vom Nullprodukt:
  $e^{- x} \neq 0$ für alle $x \Rightarrow x^{2} - x - 1 = 0$
  Der TR liefert $x \approx - 0,62 \lor x \approx 1,62$ .
  Berechne nun das Integral $A = | \int_{- 0,62}^{1,62} h (x) d x | \approx 1,28$
  Die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt rund $1,28 FE$ .
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  Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
  Dann berechnet man den Flächeninhalt mit $A = | \int_{x_{1}}^{x_{2}} h (x) d x |$ .
2. (i) Zeigen Sie: $h^{'} (x) = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$ . (2 P)
  (ii) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  (i) Zeige: $h^{'} (x) = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$
  Wende die Produkt- und Kettenregel an. $h^{'} (x) = (2 x - 1) \cdot e^{- x} - (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x} = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$ .
  (ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte
  Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{'} (x) = 0$ .
  Die Nullstellen sind also $x = 0 \lor x = 3$ .
  Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $h$ nur zwei Extrempunkte.
  Da $h^{'}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.
  Gesucht ist also der Abstand $d$ der Punkte $T (0 | h (0)) = T (0 | - 1)$ und $H (3 | h (3)) = H (3 | 5 e^{- 3})$ .
  Es gilt: $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
  $\Rightarrow d = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (5 e^{- 3} - (- 1))^{2}} \approx 3,25$
  Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $3,25 LE$ .
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  (i)
  Wende die Produkt- und Kettenregel an.
  (ii)
  Berechne für die Extrema $h^{'} (x) = 0$ . $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$
  Berechne die Koordinaten der beiden Extrema $T P (x_{1} | h (x_{1})$ und $H P (x_{2} | h (x_{2})$ .
  Der Abstand der Extrempunkte berechnet sich dann mit: $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
3. Die beiden Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ ein Rechteck $T P H Q$ , dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion $h$ in zwei Teilstücke zerlegt
  (siehe Abbildung 1).
  Ermitteln Sie, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)
  Abbildung 1
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt
  Gegeben: $T (0 | - 1)$ und $H (3 | 5 e^{- 3})$ .
  Der Flächeninhalt des Rechtecks $T P H Q$ berechnet sich durch:
  $A_{□} = Δ x \cdot Δ y = 3 \cdot (5 e^{- 3} + 1) \approx 3,75$ .
  Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $3,75 FE$ .
  Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der Geraden mit der Gleichung $y = - 1$ über dem Intervall $[0; 3]$ .
  Ihr Inhalt beträgt $A_{schraffiert} = \int_{0}^{3} (h (x) - (- 1)) d x \approx 2,40$ .
  Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{schraffiert}$ beträgt rund $2,40 FE$ .
  Damit ergibt sich ein Anteil von $\frac{A_{schraffiert}}{A_{□}} = \frac{2,40}{3 \cdot (5 e^{- 3} + 1)} \approx 0,641$ , also von ca. $64,1 %$ .
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  Betrachte die Koordinaten der beiden Extrema und berechne den Flächeninhalt $A_{□}$ des Rechtecks.
  Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche mit: $A_{schraffiert} = \int_{0}^{3} (h (x) - (- 1)) d x$
  Bilde das Verhältnis $\frac{A_{schraffiert}}{A_{□}}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $ℝ$ definierte Funktion $w : x \mapsto 4 \cdot (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x} + 4$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w (x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.
Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$ .
Abbildung 2
1. Für $x \to \infty$ gilt $w (x) \to c$ .
  Geben Sie den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
  Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an
  Gegeben ist $w (x) = 4 \cdot (x^{2} - x - 1) \cdot e^{- x} + 4$
  Es gilt: $\lim_{x \to \infty} x^{n} \cdot e^{- x} = 0$ . Daher ist $\lim_{x \to \infty} w (x) = 4$ .
  Demnach ist $c = 4$ , d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4 \frac{m^{3}}{s}$ .
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  $w (x)$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle.
  Es gilt: $\lim_{x \to \infty} x^{n} \cdot e^{- x} = 0$ . Daher ist $\lim_{x \to \infty} w (x) = 4$ .
  Welche Schlussfolgerung kann man ziehen?
2. Ohne Nachweis können Sie im Weiteren $w^{'} (x) = (12 x - 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$ verwenden.
  Es gibt zwei Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ übereinstimmt. Ermitteln Sie eine dieser Stellen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
  Ermittele eine dieser Stellen
  Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ ist $w^{'} (x)$ .
  Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ wird berechnet mit $\frac{w (10) - w (0)}{10 - 0}$ .
  Damit erhält man folgende Gleichung:
  $w^{'} (x) = \frac{w (10) - w (0)}{10}$
  Der GTR liefert für die Gleichung $w^{'} (x) = \frac{w (10) - w (0)}{10}$ eine Lösung $x_{3}$ mit
  $x_{3} \approx 0,04$ . (Für die zweite Lösung $x_{4}$ gilt: $x_{4} \approx 2,51$ .)
  An der Stelle $x_{3} \approx 0,04$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein.
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  Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ ist $w^{'} (x)$ .
  Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ wird berechnet mit $\frac{w (10) - w (0)}{10 - 0}$ .
  Damit erhält man folgende Gleichung, die gelöst werden muss: $w^{'} (x) = \frac{w (10) - w (0)}{10}$
3. Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt
  Betrachte den Graphen der Funktion $w$ . Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}$ vor, für die $x_{w} > 3$ gilt. Die Analyse des Graphen von $w^{'}$ ergibt als zugehörigen Tiefpunkt $T P (4,3 | - 0,303)$ .
  Damit liegt die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr $4,3$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn vor.
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  Betrachte den Graphen der Funktion $w$ . Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}$ vor, für die $x_{w} > 3$ gilt.
  Analysiere den Graphen von $w^{'}$ , um den zugehörigen Tiefpunkt zu finden.
4. (i) Bestimmen Sie die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt. (2 P)
  (ii) Die Gleichung $\int_{t}^{t + 3} w (x) d x = 13$ hat für $t \geq 0$ die Lösungen $t_{1}$ und $t_{2}$ mit $t_{1} \approx 0,8$ und $t_{2} \approx 4,4$ .
  Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  (i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt
  Berechne:
  $\int_{0}^{2} w (x) d x \approx 4,75$
  In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $4,75 m^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbei.
  (ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang
  Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13 m^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.
  D. h., von etwa $0,8 s$ bis $3,8 s$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $4,4 s$ bis $7,4 s$ nach Beobachtungsbeginn beträgt der Wasserdurchfluss jeweils $13 m^{3}$ .
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  (i)
  Berechne $\int_{0}^{2} w (x) d x$ .
  (ii)
  Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13 m^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.
  Um welche beiden Zeiträume handelt es sich dann?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Aufgabe 1

Beschreibe, wie der Graph von q′ aus dem Graphen von q erzeugt werden kann

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Zeige, dass die Graphen von p und q in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gib eine Gleichung dieser Tangente an

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Gib den Wert des Integrals ∫02(q(x)−p(x))dx an und interpretiere diesen Wert geometrisch

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Aufgabe 2

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von h und die x-Achse einschließen

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(i) Zeige: h′(x)=(−x2+3x)⋅e−x

(ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte

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Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt

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Aufgabe 3

Gib den Wert c sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

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Ermittele eine dieser Stellen

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Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt

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(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

(ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang

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Beschreibe, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann

Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gib den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} (q (x) - p (x)) d x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen

(i) Zeige: $h^{'} (x) = (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{- x}$

Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an