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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto-x^{2}-x+1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ .
Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q^{\prime}(x)=-q(x)$ .
1. Beschreiben Sie, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen
  Beschreibe, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann
  Gegeben: $q(x)=e^{-x}$
  Weiterhin: Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q^{\prime}(x)=-q(x)$ .
  Der Graph von $q^{\prime}$ kann aus dem Graphen von $q$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse erzeugt werden.
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  Was bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse?
2. Zeigen Sie, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.
  (2 P + 1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben
  Gegeben: $p(x)=-x^{2}-x+1$ und $q(x)=e^{-x}$
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse.
  Für $x = 0$ ist $p (0) = 1$ und $q (0) = e^{0} = 1$ .
  Der gemeinsame Punkt liegt auf der $y$ -Achse und ist der Punkt $P(0 \mid 1)$ .
  Weiterhin gilt: $p^{'} (x) = - 2 x - 1$ und $q'(x)=-e^{-x}$ :
  Dann ist $p^{'} (0) = - 1$ und $q^{'} (0) = - 1$ .
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben einen gemeinsamen Punkt $P(0 \mid 1)$ und sie haben in diesem Punkt die gleiche Steigung $- 1$ . Deshalb haben sie auch im Punkt $P$ eine gemeinsame Tangente.
  Gib eine Gleichung dieser Tangente an
  $t(x)=m\cdot x+b$ mit $m = - 1$ und $b = 1$ folgt dann:
  $t (x) = - x + 1$
  Die Gleichung dieser Tangente lautet $t (x) = - x + 1$ .
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  Teil 1
  Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$ -Achse. Setze $x = 0$ in die Funktionsgleichungen ein.
  Berechne $p^{'} (0)$ und $q^{'} (0)$ .
  Teil 2
  Setze die bekannten Werte in $t(x)=m\cdot x+b$ ein.
3. Geben Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x)) \mathrm{d} x$ an und interpretieren Sie diesen Wert geometrisch. (1 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\; \mathrm{d} x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch
  $\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x)) \;\mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{2}(e^{-x}-(-x^{2}-x+1))\; \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{2}(e^{-x}+x^{2}+x-1))\; \mathrm{d} x$
  Der Term $\dfrac{11\cdot e^2-3}{3\cdot e^2}$ kann noch vereinfacht werden.
  $\Rightarrow\;\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\; \mathrm{d} x=\dfrac{11}{3}-e^{-2}\approx3{,}53$
  Die Fläche, die die Graphen von $p$ und $q$ sowie die Gerade mit der Gleichung $x = 2$ einschließen, hat einen Inhalt von ca. $3,53$ Flächeneinheiten.
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  Setze in $\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x)) \mathrm{d} x$ die beiden gegebenen Funktionen ein und berechne das Integral.
  Der Wert des Integrals ist die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche zwischen $x = 0$ und $x = 2$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
1. Bestimmen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen
  Gegeben: $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ :
  $0=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Verwende Satz vom Nullprodukt:
  $e^{-x}\neq 0$ für alle $x\;\Rightarrow\;x^2-x-1=0$
  Der TR liefert $x\approx-0{,}62 \vee x\approx1{,}62$ .
  Berechne nun das Integral $A=\left|\displaystyle\int_{-0{,}62}^{1{,}62} h(x)\; \mathrm{d} x\right| \approx 1{,}28$
  Die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen, beträgt rund $1{,}28\;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne die Nullstellen $h (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
  Dann berechnet man den Flächeninhalt mit $A=\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x)\; \mathrm{d} x\right|$ .
2. (i) Zeigen Sie: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ . (2 P)
  (ii) Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte. (2 P + 2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  (i) Zeige: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$
  Wende die Produkt- und Kettenregel an. $h^{\prime}(x)=(2 x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}-\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .
  (ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte
  Notwendige Bedingung für Extremstellen: $h^{\prime}(x)=0$ .
  Die Nullstellen sind also $x=0 \vee x=3$ .
  Laut Aufgabenstellung hat der Graph von $h$ nur zwei Extrempunkte.
  Da $h^{\prime}$ nur zwei Nullstellen besitzt, muss es sich um die Extremstellen handeln.
  Gesucht ist also der Abstand $d$ der Punkte $T(0 \mid h(0))=T(0 \mid-1)$ und $H(3 \mid h(3))=H\left(3 \mid 5 \mathrm{e}^{-3}\right)$ .
  Es gilt: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
  $\Rightarrow\;d=\sqrt{(3-0)^2+(5 \mathrm{e}^{-3}-(-1))^2}\approx3{,}25$
  Der Abstand der Extrempunkte beträgt rund $3{,}25\;\mathrm{LE}$ .
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  (i)
  Wende die Produkt- und Kettenregel an.
  (ii)
  Berechne für die Extrema $h^{\prime}(x)=0$ . $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
  Berechne die Koordinaten der beiden Extrema $T P (x_{1} ∣ h (x_{1})$ und $H P (x_{2} ∣ h (x_{2})$ .
  Der Abstand der Extrempunkte berechnet sich dann mit: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ .
3. Die beiden Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ bilden zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ ein Rechteck $T P H Q$ , dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Dieses Rechteck wird durch den Graphen der Funktion $h$ in zwei Teilstücke zerlegt
  (siehe Abbildung 1).
  Ermitteln Sie, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt. (2 P + 2 P + 2 P)
  Abbildung 1
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt
  Gegeben: $T(0 \mid-1)$ und $H\left(3 \mid 5 \mathrm{e}^{-3}\right)$ .
  Der Flächeninhalt des Rechtecks $T P H Q$ berechnet sich durch:
  $A_{\square}=\Delta x\cdot \Delta y=3 \cdot\left(5 \mathrm{e}^{-3}+1\right) \approx 3{,}75$ .
  Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt rund $3{,}75 \;\mathrm{FE}$ .
  Schraffiert ist die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der Geraden mit der Gleichung $y = - 1$ über dem Intervall $[0; 3]$ .
  Ihr Inhalt beträgt $A_{\text{schraffiert}}=\displaystyle\int_{0}^{3}(h(x)-(-1))\;\mathrm{d} x\approx 2{,}40$ .
  Der Inhalt der schraffierten Fläche $A_{\text{schraffiert}}$ beträgt rund $2{,}40\;\mathrm{FE}$ .
  Damit ergibt sich ein Anteil von $\dfrac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\square}}=\dfrac{2{,}40}{3 \cdot\left(5 \mathrm{e}^{-3}+1\right)} \approx 0{,}641$ , also von ca. $64{,}1 \%$ .
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  Betrachte die Koordinaten der beiden Extrema und berechne den Flächeninhalt $A_{\square}$ des Rechtecks.
  Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche mit: $A_{\text{schraffiert}}=\displaystyle\int_{0}^{3}(h(x)-(-1))\;\mathrm{d} x$
  Bilde das Verhältnis $\dfrac{A_{\text{schraffiert}}}{A_{\square}}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}+4$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w (x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.
Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$ .
Abbildung 2
1. Für $x \rightarrow \infty$ gilt $w(x) \rightarrow c$ .
  Geben Sie den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
  Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an
  Gegeben ist $w(x)=4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}+4$
  Es gilt: $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} x^n\cdot e^{-x}=0$ . Daher ist $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} w(x)=4$ .
  Demnach ist $c = 4$ , d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~s}}$ .
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  $w (x)$ beschreibt für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle.
  Es gilt: $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} x^n\cdot e^{-x}=0$ . Daher ist $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} w(x)=4$ .
  Welche Schlussfolgerung kann man ziehen?
2. Ohne Nachweis können Sie im Weiteren $w^{\prime}(x)=\left(12 x-4 x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ verwenden.
  Es gibt zwei Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ übereinstimmt. Ermitteln Sie eine dieser Stellen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
  Ermittele eine dieser Stellen
  Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ ist $w^{'} (x)$ .
  Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ wird berechnet mit $\dfrac{w(10)-w(0)}{10-0}$ .
  Damit erhält man folgende Gleichung:
  $w^{\prime}(x)=\dfrac{w(10)-w(0)}{10}$
  Der GTR liefert für die Gleichung $w^{\prime}(x)=\frac{w(10)-w(0)}{10}$ eine Lösung $x_{3}$ mit
  $x_{3} \approx 0{,}04$ . (Für die zweite Lösung $x_{4}$ gilt: $x_{4} \approx 2{,}51$ .)
  An der Stelle $x_{3} \approx 0{,}04$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein.
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  Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ ist $w^{'} (x)$ .
  Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ wird berechnet mit $\dfrac{w(10)-w(0)}{10-0}$ .
  Damit erhält man folgende Gleichung, die gelöst werden muss: $w^{\prime}(x)=\dfrac{w(10)-w(0)}{10}$
3. Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt
  Betrachte den Graphen der Funktion $w$ . Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}$ vor, für die $x_{w}>3$ gilt. Die Analyse des Graphen von $w^{'}$ ergibt als zugehörigen Tiefpunkt $TP(4{,}3 \mid -0{,}303)$ .
  Damit liegt die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr $4,3$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn vor.
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  Betrachte den Graphen der Funktion $w$ . Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}$ vor, für die $x_{w}>3$ gilt.
  Analysiere den Graphen von $w^{'}$ , um den zugehörigen Tiefpunkt zu finden.
4. (i) Bestimmen Sie die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt. (2 P)
  (ii) Die Gleichung $\displaystyle\int_{t}^{t+3} w(x) \mathrm{d} x=13$ hat für $t \geq 0$ die Lösungen $t_{1}$ und $t_{2}$ mit $t_{1} \approx 0{,}8$ und $t_{2} \approx 4{,}4$ .
  Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  (i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt
  Berechne:
  $\displaystyle\int_{0}^{2} w(x) \;\mathrm{d} x \approx 4{,}75$
  In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $4{,}75 \mathrm{~m}^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbei.
  (ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang
  Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13 \mathrm{~m}^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.
  D. h., von etwa $0{,}8 \mathrm{~s}$ bis $3{,}8 \mathrm{~s}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $4{,}4 \mathrm{~s}$ bis $7{,}4 \mathrm{~s}$ nach Beobachtungsbeginn beträgt der Wasserdurchfluss jeweils $13 \mathrm{~m}^{3}$ .
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  (i)
  Berechne $\displaystyle\int_{0}^{2} w(x)\;\mathrm{d} x$ .
  (ii)
  Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13 \mathrm{~m}^{3}$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.
  Um welche beiden Zeiträume handelt es sich dann?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B1

Aufgabe 1

Beschreibe, wie der Graph von q′q'q′ aus dem Graphen von qqq erzeugt werden kann

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Zeige, dass die Graphen von ppp und qqq in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gib eine Gleichung dieser Tangente an

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Gib den Wert des Integrals ∫02(q(x)−p(x)) dx\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\; \mathrm{d} x∫02​(q(x)−p(x))dx an und interpretiere diesen Wert geometrisch

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Aufgabe 2

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von hhh und die xxx-Achse einschließen

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(i) Zeige: h′(x)=(−x2+3x)⋅e−xh^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}h′(x)=(−x2+3x)⋅e−x

(ii) Berechne die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von h sowie den Abstand der Extrempunkte

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Ermittele, welchen Anteil an der Fläche des Rechtecks die Fläche des schraffierten Teilstücks einnimmt

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Aufgabe 3

Gib den Wert ccc sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

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Ermittele eine dieser Stellen

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Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt

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(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

(ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang

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Beschreibe, wie der Graph von $q^{'}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann

Zeige, dass die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben

Gib den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{2}(q(x)-p(x))\; \mathrm{d} x$ an und interpretiere diesen Wert geometrisch

Bestimme die Größe der Fläche, die der Graph von $h$ und die $x$ -Achse einschließen

(i) Zeige: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-x}$

Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an