Gib den Wert $cc$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

Gegeben ist $w(x)=4\cdot (x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+4w(x)=4\; \backslash cdot\backslash left(x^\{2\}-x-1\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}+4$

Es gilt: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n\cdot e^{-x}=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; x^n\backslash cdot\; e^\{-x\}=0$. Daher ist $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }w(x)=4\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; w(x)=4$.

Demnach ist $c=4c=4$, d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}4\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{~m\}^\{3\}\}\{\backslash mathrm\{~s\}\}$.

Ermittele eine dieser Stellen

Die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ ist $w^{\mathrm{\prime }}(x)w\text{'}(x)$.

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ wird berechnet mit ${\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10-0}}\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10-0\}$.

Damit erhält man folgende Gleichung:

$w^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10}}w^\{\backslash prime\}(x)=\backslash dfrac\{w(10)-w(0)\}\{10\}$

Der GTR liefert für die Gleichung $w^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{w(10)-w(0)}{10}w^\{\backslash prime\}(x)=\backslash frac\{w(10)-w(0)\}\{10\}$ eine Lösung $x_{3}x\_\{3\}$ mit

$x_3\approx \mathrm{0,04}x\_\{3\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$. (Für die zweite Lösung $x_{4}x\_\{4\}$ gilt: $x_4\approx \mathrm{2,51}x\_\{4\}\; \backslash approx\; 2\{,\}51$.)

An der Stelle $x_3\approx \mathrm{0,04}x\_\{3\}\; \backslash approx\; 0\{,\}04$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $ww$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $ww$ über dem Intervall $[0;10][0;10]$ überein.

Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt

Betrachte den Graphen der Funktion $ww$. Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_{w}x\_\{w\}$ vor, für die $x_w>3x\_\{w\}>3$ gilt. Die Analyse des Graphen von $w^{\mathrm{\prime }}w\text{'}$ ergibt als zugehörigen Tiefpunkt $TP(\mathrm{4,3}\mid -\mathrm{0,303})TP(4\{,\}3\; \backslash mid\; -0\{,\}303)$.

Damit liegt die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr $\mathrm{4,3}4\{,\}3$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn vor.

(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

Berechne:

${\displaystyle {\int }_0^{2}w(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{4,75}}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^\{2\}\; w(x)\; \backslash ;\backslash mathrm\{d\}\; x\; \backslash approx\; 4\{,\}75$

In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $\mathrm{4,75}{\mathrm{m}}^{3}4\{,\}75\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ Wasser an der Messstelle vorbei.

(ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang

Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13{\mathrm{m}}^{3}13\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.

D. h., von etwa $\mathrm{0,8}\mathrm{s}0\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{3,8}\mathrm{s}3\{,\}8\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $\mathrm{4,4}\mathrm{s}4\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ bis $\mathrm{7,4}\mathrm{s}7\{,\}4\; \backslash mathrm\{~s\}$ nach Beobachtungsbeginn beträgt der Wasserdurchfluss jeweils $13{\mathrm{m}}^{3}13\; \backslash mathrm\{~m\}^\{3\}$.