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Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in definierte Funktion w:x4(x2x1)ex+4 beschreibt für x0 die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und w(x) die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von w.

Abbildung 2

Abbildung 2

  1. Für x gilt w(x)c.

    Geben Sie den Wert c sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an.

    (2 P)

  2. Ohne Nachweis können Sie im Weiteren w(x)=(12x4x2)ex verwenden.

    Es gibt zwei Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion w mit der mittleren Änderungsrate der Funktion w über dem Intervall [0;10] übereinstimmt. Ermitteln Sie eine dieser Stellen. (3 P)

  3. Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt. (3 P)

  4. (i) Bestimmen Sie die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt. (2 P)

    (ii) Die Gleichung tt+3w(x)dx=13 hat für t0 die Lösungen t1 und t2 mit t10,8 und t24,4.

    Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang. (2 P)