Gib den Wert $c$ sowie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang an

Gegeben ist $w(x)=4\cdot (x^2-x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}+4$

Es gilt: $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n\cdot e^{-x}=0$. Daher ist $\underset{x\to \infty }{\lim }w(x)=4$.

Demnach ist $c=4$, d. h., die momentane Durchflussrate nähert sich langfristig einem Wert von $4\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{s}}$.

Ermittele eine dieser Stellen

Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ ist $w^{\prime }(x)$.

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0;10]$ wird berechnet mit ${\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10-0}}$.

Damit erhält man folgende Gleichung:

$w^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{w(10)-w(0)}{10}}$

Der GTR liefert für die Gleichung $w^{\prime }(x)=\frac{w(10)-w(0)}{10}$ eine Lösung $x_3$ mit

$x_3\approx \mathrm{0,04}$. (Für die zweite Lösung $x_4$ gilt: $x_4\approx \mathrm{2,51}$.)

An der Stelle $x_3\approx \mathrm{0,04}$ stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0;10]$ überein.

Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten abnimmt

Betrachte den Graphen der Funktion $w$. Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle $x_w$ vor, für die $x_w>3$ gilt. Die Analyse des Graphen von $w^{\prime }$ ergibt als zugehörigen Tiefpunkt $TP(\mathrm{4,3}|-\mathrm{0,303})$.

Damit liegt die stärkste Abnahme der momentanen Durchflussrate in den ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr $\mathrm{4,3}$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn vor.

(i) Bestimme die Wassermenge, die in den ersten zwei Sekunden seit Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt

Berechne:

$${\displaystyle {\int }_0^{2}w(x)\mathrm{d}x\approx \mathrm{4,75}}$$

In den ersten zwei Sekunden ab Messbeginn fließen ca. $\mathrm{4,75}{\mathrm{m}}^3$ Wasser an der Messstelle vorbei.

(ii) Interpretieren Sie die Bedeutung dieser beiden Lösungen im Sachzusammenhang

Die erhaltenen Zeitpunkte markieren jeweils den Beginn eines drei Sekunden umfassenden Zeitraums, über den hinweg $13{\mathrm{m}}^3$ Wasser an der Messstelle vorbeigeflossen sind.

D. h., von etwa $\mathrm{0,8}\mathrm{s}$ bis $\mathrm{3,8}\mathrm{s}$ nach Beobachtungsbeginn sowie von etwa $\mathrm{4,4}\mathrm{s}$ bis $\mathrm{7,4}\mathrm{s}$ nach Beobachtungsbeginn beträgt der Wasserdurchfluss jeweils $13{\mathrm{m}}^3$.